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Berechnung der minimalen Stärke d der Isolierstoffstreifen des Wickels
Um die minimale Stärke \(d\) der Isolierstoffstreifen zu berechnen, nutzen wir die Tatsache, dass die maximale elektrische Feldstärke \(E_{\text{max}}\) durch die Durchschlagfestigkeit \(E_D\) des Materials gegeben ist. Wir wissen, dass die elektrische Feldstärke \(E\) definiert ist als die Spannung \(U\) über der Stärke \(d\) des Dielektrikums:
\(E = \frac{U}{d}\)
Da die Durchschlagfestigkeit \(E_D = 10 \, \text{MV/m}\) und \(U_{\text{max}} = 1 \, \text{kV} = 1000 \, \text{V}\), ergibt sich:
\(E_D = \frac{U_{\text{max}}}{d}\)
Daraus folgt für \(d\):
\(d = \frac{U_{\text{max}}}{E_D}\)
Einsetzen der gegebenen Werte:
\(d = \frac{1000 \, \text{V}}{10 \times 10^6 \, \text{V/m}} = \frac{1000}{10^7} \, \text{m} = 0,0001 \, \text{m} = 0,1 \, \text{mm}\)
Berechnung der Länge s der Metallfolienstreifen
Um die Länge \(s\) der Metallfolienstreifen zu berechnen, verwenden wir die Formel für die Kapazität \(C\) eines Plattenkondensators:
\(C = \frac{\varepsilon \cdot A}{d}\)
wobei \(A\) die Fläche der Platten ist (in unserem Fall die Fläche der Metallfolienstreifen), die sich aus der Breite \(b\) und der Länge \(s\) der Streifen ergibt (\(A = b \times s\)), und \(\varepsilon\) ist die Permittivität des Isoliermaterials.
Daraus leiten wir die Formel für \(s\) ab:
\(s = \frac{C \cdot d}{\varepsilon \cdot b}\)
Mit \(C = 10 \, \text{nF} = 10 \times 10^{-9} \, \text{F}\), \(d = 0,1 \, \text{mm} = 0,1 \times 10^{-3} \, \text{m}\), \(\varepsilon = 47,8 \times 10^{12} \times 10^{-12} \, \text{As/Vm} = 47,8 \, \text{As/Vm}\), und \(b = 3 \, \text{cm} = 0,03 \, \text{m}\):
\(s = \frac{10 \times 10^{-9} \, \text{F} \cdot 0,1 \times 10^{-3} \, \text{m}}{47,8 \, \text{As/Vm} \cdot 0,03 \, \text{m}}\)
\(s = \frac{10 \times 10^{-12}}{47,8 \times 0,03}\)
\(s = \frac{10}{47,8 \times 0,03} \times 10^{-12} \, \text{m}\)
\(s \approx 7,0 \, \text{m}\)
Berechnung der Zeit \(\Delta t\) für die Kapazitätspannung
Die Zeit \(\Delta t\), um einen bestimmten Ladungszustand zu erreichen, kann mittels der Zeitkonstante \(\tau\) der RC-Schaltung berechnet werden. Die Zeitkonstante ist das Produkt aus dem Widerstand \(R\) und der Kapazität \(C\):
\(\tau = R \cdot C\)
Die Spannung \(U_C\) eines aufladenden Kondensators wird beschrieben durch:
\(U_C = U (1 - e^{-(\frac{\Delta t}{\tau})})\)
Lösen wir nach \(\Delta t\) auf, wenn \(U_C = 0,95 \cdot U\):
\(0,95 \cdot U = U (1 - e^{-(\frac{\Delta t}{\tau})})\)
\(0,95 = 1 - e^{-(\frac{\Delta t}{\tau})}\)
\(e^{-(\frac{\Delta t}{\tau})} = 0,05\)
\(-\frac{\Delta t}{\tau} = \ln(0,05)\)
\(\Delta t = -\tau \ln(0,05)\)
Einsetzen von \(\tau = R \cdot C = 10 \times 10^6 \, \Omega \cdot 10 \times 10^{-9} \, F = 10^{-2} \, s\):
\(\Delta t = -10^{-2} \ln(0,05) \, s\)
\(\Delta t \approx 3 \ln(20) \approx 3 \times 2,9957 \, s\)
\(\Delta t \approx 8,99 \, s\)
Berechnung der Ladung Q des Kondensators
Die Ladung \(Q\) eines Kondensators kann mit der Formel:
\(Q = C \cdot U\)
berechnet werden. Bei \(U = 220 \, V\):
\(Q = 10 \times 10^{-9} \, F \cdot 220 \, V = 2,2 \times 10^{-6} \, C = 2,2 \, \mu C\)
Berechnung der gespeicherten Energie W des Kondensators
Die Energie \(W\), die in einem Kondensator gespeichert ist, wird durch die Formel:
\(W = \frac{1}{2} C U^2\)
gegeben. Mit \(U = 220 \, V\):
\(W = \frac{1}{2} \cdot 10 \times 10^{-9} \, F \cdot (220)^2 \, V^2\)
\(W = 5 \times 10^{-9} \, F \cdot 48400 \, V^2\)
\(W = 242 \times 10^{-9} \, J = 242 \, \mu J\)
