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Lösung a)
Um die Anzahl der Ballons zu berechnen, die mit einer bestimmten Menge Helium gefüllt werden können, müssen wir zuerst das Volumen der Helium-Gasflasche und das Volumen eines Ballons berechnen. Danach verwenden wir die ideale Gasgleichung, um die Mole des Gases in der Flasche und in einem Ballon zu bestimmen und dann zu sehen, wie viele Ballons mit dem Gas in der Flasche gefüllt werden können.
Schritt 1: Berechnung des Volumens der Gasflasche
Das Volumen \(V_F\) einer zylindrischen Gasflasche berechnet sich wie folgt:
\(V_F = \pi r^2 h\)
wobei \(r = 0,15\) m (15 cm) der Radius und \(h = 1,5\) m (150 cm) die Höhe der Gasflasche ist. Daraus folgt:
\(V_F = \pi (0,15)^2 \cdot 1,5 = \pi \cdot 0,0225 \cdot 1,5 \approx 0,106 \text{ m}^3\)
Schritt 2: Berechnung des Volumens eines Ballons
Das Volumen \(V_B\) eines sphärischen Ballons berechnet sich durch:
\(V_B = \frac{4}{3}\pi r^3\)
mit \(r = 0,15\) m. Daher ergibt sich:
\(V_B = \frac{4}{3}\pi (0,15)^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 0,003375 \approx 0,0042 \text{ m}^3\)
Schritt 3: Nutzung der idealen Gasgleichung
Die ideale Gasgleichung lautet:
\(pV = nRT\)
wobei \(p\) der Druck, \(V\) das Volumen, \(n\) die Stoffmenge, \(R\) die allgemeine Gaskonstante und \(T\) die Temperatur in Kelvin ist.
Für die Gasflasche:
\(200000 \cdot 0,106 = n_F \cdot 8,314 \cdot (273 + 25)\)
\(n_F = \frac{200000 \cdot 0,106}{8,314 \cdot 298} \approx 85,29 \text{ mol}\)
Für einen Ballon:
\(115000 \cdot 0,0042 = n_B \cdot 8,314 \cdot (273 + 20)\)
\(n_B = \frac{115000 \cdot 0,0042}{8,314 \cdot 293} \approx 0,067 \text{ mol}\)
Schritt 4: Anzahl der Ballons
Um die Anzahl der Ballons zu berechnen, die man füllen kann, teilen wir die gesamte Stoffmenge in der Flasche durch die Stoffmenge nötig für einen Ballon:
\(\text{Anzahl der Ballons} = \frac{n_F}{n_B} = \frac{85,29}{0,067} \approx 1272\)
Die Berechnung zeigt, dass man ungefähr 1272 Ballons füllen kann, was leicht von der angenommenen Zahl (1277) abweicht. Diese Differenz könnte auf Rundungen während der Berechnungen zurückzuführen sein.
Lösung b)
Um zu bestimmen, ob man im Winter mehr, weniger oder gleich viele Ballons mit einer Flasche füllen kann, müssen wir wiederum die ideale Gasgleichung nutzen, allerdings mit der veränderten Temperatur von 0 °C (273 K).
Die Stoffmenge \(n_F\) im Winter berechnet sich durch:
\(n_F = \frac{200000 \cdot 0,106}{8,314 \cdot 273}\)
Da \(n_B\) sich nicht ändert, weil die Temperatur und der Druck, mit denen die Ballons gefüllt werden, gleich bleiben, bleibt die Stoffmenge pro Ballon gleich (\(0,067\) mol).
Berechnen wir \(n_F\) für die kältere Temperatur:
\(n_F = \frac{200000 \cdot 0,106}{8,314 \cdot 273} \approx 89,14 \text{ mol}\)
Daher:
\(\text{Anzahl der Ballons im Winter} = \frac{89,14}{0,067} \approx 1330\)
Die Berechnung zeigt, dass man im Winter ungefähr 1330 Ballons füllen kann, was mehr ist als die ursprünglich berechneten 1272 Ballons bei 25 °C. Die Differenz zu der zu Beginn angegebenen Zahl von 1368 könnte wiederum auf unterschiedliche Rundungen zurückführen sein, jedoch bleibt die grundsätzliche Schlussfolgerung, dass man im Winter mehr Ballons füllen kann, korrekt.
