Schwingung eines Gummistabs

Question

Aufgabe:

Eine kleine, zylinderförmige Gummistange (Länge l, Radius r = 5mm) ist senkrecht an der Zimmerdecke befestigt. An ihrem unteren Ende ist eine Kreisscheibe aus Metall festgemacht (Radius = 50mm), und zwar so, dass die Symmetrieachsen der beiden Körper übereinstimmen. Wenn man die Metallscheibe nach unten zieht und dann loslässt, führt sie lineare Schwingungen aus (so wie mit einer Feder). Wenn man die Metallscheibe um ihre Achse verdreht und dann loslässt, führt sie Drehschwingungen aus.

Um wieviel größer ist die Frequenz der linearen Schwingung als jene der Drehschwingung?

Für Gummi ist die Poisson-Zahl ν = 0.50. Masse und Trägheitsmoment der Gummistange seien gegenüber der Metallscheibe vernachlässigbar klein.

Problem/Ansatz:

Ich versuche mich gerade an dem linearen Fall.

Sei die Gummistange also zunächst im Gleichgewicht (relative Längenveränderung ε = 0). Wie bei einem einfachen Feder-Masse-System kann man den Ursprung (x-Achse) dann einfach an die Gleichgewichtsposition der Metallscheibe legen und muss die Gewichtskraft nicht weiter explizit einbeziehen.

Folgende Formeln könnten, denke ich, nützlich sein:

Zugspannung:

$$\sigma = \frac{F_N}{A}$$

Relative Längenänderung:

$$\epsilon = \frac{\Delta l}{l}$$

Hookesches Gesetz für linearen Dehnbereich:

$$\sigma = E \cdot \epsilon$$

Querkontraktion:

$$\nu = - \frac{\Delta d / d}{\Delta l / l}$$

Für die Stauchung gelten ja quasi analog die gleichen Zusammenhänge, wobei die Längenänderung negativ ist.

Generell war jetzt mein Ansatz die Bewegungsgleichung aufzustellen, die vermutlich sehr ähnlich zum ungedämpften harmonischen Oszillator sein wird.

Da die x-Achse nun genau an der Gleichgewichtsposition liegt, kann man ja schreiben:

$$\Delta l = x$$

Dehnt man die Gummistange jetzt zum Beispiel um x > 0 (nach unten) aus mit der Zugkraft F_N, sodass der lineare Bereich nicht überschritten wird, hat man nach dem Hookeschen Gesetz

$$\sigma = E \cdot \epsilon \iff \frac{F_N}{A} = E \cdot \frac{x}{l} \iff F_N = \frac{EA}{l} \cdot x$$

Lässt man den Stab nun los, versucht dieser sich mit einer gegengleichen Kraft wieder zusammenzuziehen.

$$F_\mathrm{rücktreibend} = - \frac{EA}{l} \cdot x \tag{1}$$

Die Kraft, mit der gezogen wird, müsste sich ja von der Kreisscheibe auf das untere Ende der Gummistange übertragen, oder? Womit man dann als Zugfläche

$$A = 2 \pi r^2$$

erhält. Wenn A konstant ist, könnte man die DGL (1) ja leicht lösen, um die Schwingfrequenz zu bestimmen, aber irgendwie muss man hier ja noch die Querkontraktion einbringen, woran ich momentan scheitere.

Skizze:

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

Lineare Schwingung

Zuerst betrachten wir die lineare Schwingung der Metallscheibe, die an der Gummistange befestigt ist. Hier ist das Ziel, die Frequenz dieser Schwingung zu berechnen.

Der Ansatz, der vorgeschlagen wurde, basiert darauf, das Hookesche Gesetz zu verwenden, um die rücktreibende Kraft zu bestimmen, die entsteht, wenn die Gummistange um ein Stück \(x\) gedehnt wird. Diese rücktreibende Kraft wird dann genutzt, um die Schwingungsgleichung aufzustellen.

Aus der gegebenen Beziehung \(F_N = \frac{EA}{l} \cdot x\) erhalten wir die rücktreibende Kraft als \(F = -\frac{EA}{l} \cdot x\). Die negative Richtung zeigt an, dass die Kraft entgegen der Auslenkungsrichtung wirkt.

Für eine Massen \(m\) an der Gummistange gilt das zweite Newtonsche Gesetz:
\( F = m \cdot a = m \cdot \frac{d^2 x}{dt^2} \)

Setzen wir die Ausdrücke für die rücktreibende Kraft und die Beschleunigung gleich, erhalten wir:
\( -\frac{EA}{l} \cdot x = m \cdot \frac{d^2 x}{dt^2} \)

\( \Rightarrow \frac{d^2 x}{dt^2} + \frac{EA}{ml} \cdot x = 0 \)

Dies ist die Differentialgleichung eines harmonischen Oszillators, mit der allgemeinen Lösung:
\( x(t) = x_0 \cos(\omega t + \phi) \)

wobei \(\omega = \sqrt{\frac{EA}{ml}}\) die Kreisfrequenz der Schwingung ist. Die Frequenz \(f\) ist dann:
\( f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{EA}{ml}} \)

Für eine Kreisscheibe als Masse nehmen wir an, dass deren Masse \(m\) gegeben oder zumindest zu berechnen ist. Beachte jedoch, dass in der Berechnung ein Fehler hinsichtlich des Querschnitts \(A\) der Gummistange unterlaufen ist. Die Querschnittsfläche \(A\) sollte korrekterweise mit der Formel für die Querschnittsfläche eines Kreises \(A = \pi r^2\) berechnet werden, nicht \(2 \pi r^2\).

Mit dem korrigierten Wert für \(A\) wird die Frequenz der linearen Schwingung:
\( f_{linear} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{E \pi r^2}{ml}} \)

Drehschwingung

Für die Drehschwingung hängen die Frequenz und das Trägheitsmoment der Scheibe eng zusammen. Für eine Drehschwingung gilt ähnlich wie beim linearen Fall eine analoge rücktreibende Kraft, hier jedoch in Form eines Drehmoments \(M\), das proportional zum verdrehten Winkel \(\theta\) ist.

Die Differentialgleichung einer Drehbewegung ist oft in der Form \(I\frac{d^2 \theta}{dt^2} = -k\theta\), wobei \(I\) das Trägheitsmoment ist und \(k\) die sogenannte Drehfederkonstante repräsentiert. Die Lösung dieser Differentialgleichung ergibt eine harmonische Schwingung mit einer Frequenz, die abhängig vom Trägheitsmoment der Kreisscheibe und der Drehfederkonstante ist.

Da jedoch spezifische Details zur Berechnung der Drehschwingung (wie die Steifigkeit der Gummistange gegen Torsion) und das Trägheitsmoment der Metallscheibe in Bezug auf ihre Symmetrieachse fehlen, können wir die tatsächliche Frequenz dieses Falls nicht direkt berechnen.

Vergleich der Frequenzen

Ohne die genauen Werte für die elastischen Eigenschaften der Gummistange im Drehschwingungsfall oder die Masse der Metallscheibe ist ein direkter Vergleich oder die Berechnung des Verhältnisses der Frequenzen der linearen Schwingung zur Drehschwingung nicht vollständig möglich.

Zusammenfassung

Für eine vollständige Lösung der Aufgabe und zum Vergleich der Frequenzen muss neben den genannten Formeln und Überlegungen zusätzliche Information oder Annahmen über das System gemacht werden, wie zum Beispiel die Masse der Metallscheibe und die spezifische Steifigkeit der Gummistange gegen Torsion im Fall der Drehschwingung.