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Trägheitstensor I des Körpers im mitrotierenden System berechnen
Um den Trägheitstensor \(I\) eines Körpers, bestehend aus vier Massen, die über ein starres Kreuz verbunden sind, im mitrotierenden System zu berechnen, müssen einige Schritte durchgeführt werden. Gegeben ist, dass sich das Kreuz mit einer konstanten Winkelgeschwindigkeit \(\omega\) um eine in seiner Ebene liegende Drehachse dreht, die durch seinen Schwerpunkt geht und einen Winkel \(\alpha\) mit seiner langen Achse einschließt.
Schritt 1: Definition des ruhenden Systems
Zuerst definieren wir ein ruhendes, kartesisches Koordinatensystem \(XYZ\) mit dem Ursprung im Schwerpunkt des Kreuzes. Die lange Achse des Kreuzes liege entlang der \(X\)-Achse und eine kurze Achse entlang der \(Y\)-Achse im Ausgangszustand.
Schritt 2: Berechnung des Trägheitstensors im ruhenden System
Der Trägheitstensor \(I_0\) für dieses System wird typischerweise durch Betrachtung der Beiträge analog zu Punkt- oder Verteilungsmassen erstellt. Für eine Masse \(m\) in einer Entfernung \(r\) von der Drehachse auf der \(X\)- oder \(Y\)-Achse gilt für den Trägheitstensor im ruhenden System:
\(
I_0 = \begin{bmatrix}
\sum m_y r_y^2 + m_z r_z^2 & 0 & 0 \\
0 & \sum m_x r_x^2 + m_z r_z^2 & 0 \\
0 & 0 & \sum m_x r_x^2 + m_y r_y^2
\end{bmatrix}
\)
Da die Stangen als masselos betrachtet werden, befinden sich die Massen \(m\) direkt an den Enden der Achsen, und die Beiträge der Z-Koordinate sind Null, da alle Massen in der \(XY\)-Ebene liegen.
Angenommen jedes Ende der Achsen des Kreuzes ist \(l\) vom Zentrum entfernt, ist der Trägheitstensor einfacher darzustellen, als:
\(
I_0 = \begin{bmatrix}
2m l^2 & 0 & 0 \\
0 & 2m l^2 & 0 \\
0 & 0 & 4m l^2
\end{bmatrix}
\)
Schritt 3: Transformation in das mitrotierende System
Um den Trägheitstensor in das mitrotierende System zu transformieren, muss eine Rotationsmatrix \(R(\alpha)\) angewandt werden, die die Rotation um den Winkel \(\alpha\) in der \(XY\)-Ebene repräsentiert. Diese Matrix sieht folgendermaßen aus:
\(
R(\alpha) = \begin{bmatrix}
\cos(\alpha) & -\sin(\alpha) & 0 \\
\sin(\alpha) & \cos(\alpha) & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\)
Der transformierte Trägheitstensor \(I\) wird dann durch Anwendung der Transformation \(I = R(\alpha) I_0 R(\alpha)^T\) gefunden, wobei \(R(\alpha)^T\) die Transponierte von \(R(\alpha)\) ist.
Schritt 4: Berechnen der Transformation
Das Einsetzen und Ausführen der Matrixmultiplikation liefert den Trägheitstensor \(I\) im mitrotierenden System. Da dies eine detaillierte und komplexe Rechnung erfordert, ist der grundlegende Ansatz, dass die Einträge von \(I\) die verteilten Massen und ihre Abstände zu den Achsen in Bezug auf das rotierende Koordinatensystem berücksichtigen werden.
Zusammenfassung:
Die Berechnung des Trägheitstensors \(I\) des Körpers im mitrotierenden System beinhaltet die Berechnung des Trägheitstensors im ruhenden System, gefolgt von der Anwendung einer Rotationsmatrix, um den Tensor in das mitrotierende System zu transformieren. Die genaue Berechnung der Einträge von \(I\) hängt von der detaillierten Durchführung der Matrixoperationen ab, einschließlich der Anwendung der Rotation basierend auf dem Winkel \(\alpha\).
