Erzeugende Funktion zu gegebener Hamilton finden

Question

Aufgabe:

Erzeugende Funktion: Es sei folgende Lagrange Funktion gegeben:
\( L(q, \dot{q})=\frac{\dot{q}^{2}}{2 q} \)

a) Sei \( p=d L / d q^{\wedge} p u n k t \) der kanonisch konjugierte Impuls. Finden Sie die zugehörige Hamiltonfunktion \( \mathrm{H}(\mathrm{q}, \mathrm{p}) \).

b)  Geben Sie die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen an.

c) Gegeben sei die Funktion \( F_{3}(p, Q)=\frac{1}{p Q^{\prime}} \), welche durch \( q=-\frac{d F_{3}}{d p}, P=-\frac{d F_{3}}{d Q} \) eine kanonische Transformation \( (q, p) \rightarrow(Q, P) \) erzeugt. Bestimmen Sie diese und verifizieren Sie, dass sie wirklich kanonisch ist, d.h. dass die fundamentale Poisson-Klammer \( \{Q, P\}=1 \) erfült ist.

d) Drücken Sie die Hamiltonfunktion \( \mathrm{H}(\mathrm{q}, \mathrm{p}) \) in den neuen Koordinaten Q, P aus. Finden Sie anschließend die allgemeine Lösung ( \( q(t), p(t)) \) der ursprünglichen Hamiltonschen Bewegungsgleichungen.

Problem/Ansatz:

Ich habe die Hamilton-Funktion gebildet und die Bewegungsgleichungen aufgestellt. Beispiel c mit der erzeugenden Funktion macht mich aber etwas stutzig, die Funktion F_3 ist doch bereits gegeben, was soll ich denn rausfinden?

Comments

Soweit ich sehe sollst du die Transformation von q,p nach Q,P machen

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

a) Kanonisch konjugierter Impuls und Hamiltonfunktion

Um die Hamiltonfunktion zu finden, müssen wir zuerst den kanonisch konjugierten Impuls berechnen. Gegeben ist die Lagrangefunktion:
\(L(q, \dot{q})=\frac{\dot{q}^2}{2q}\)
Der kanonisch konjugierte Impuls \(p\) ist definiert als:
\(p=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\)
Daraus folgt:
\(p= \frac{\partial}{\partial \dot{q}}\left(\frac{\dot{q}^2}{2q}\right) = \frac{2\dot{q}}{2q}= \frac{\dot{q}}{q}\)
Jetzt können wir die Hamiltonfunktion \(H\) berechnen, die allgemein definiert ist als:
\(H=p\dot{q}-L(q,\dot{q})\)
Ersetzen wir \(\dot{q}\) mit \(pq\), erhalten wir:
\(H=p(pq) - \frac{(pq)^2}{2q}= pq^2 -\frac{p^2q^2}{2q} = pq^2 - \frac{1}{2}p^2q\)
\(H=\frac{1}{2}p^2q\)
Da \(\dot{q}=pq\), und wir dies in \(L(q, \dot{q})\) benutzt haben, ergibt sich die Hamiltonfunktion als:
\(H = \frac{1}{2}p^2q \)

b) Hamiltonsche Bewegungsgleichungen

Die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen sind gegeben durch:
\(\dot{q}=\frac{\partial H}{\partial p} \quad \text{und} \quad \dot{p}=-\frac{\partial H}{\partial q}\)
Einsetzen der Werte liefert:
\(\dot{q}=\frac{\partial}{\partial p}\left(\frac{1}{2}p^2q\right) = pq\)
\(\dot{p}=-\frac{\partial}{\partial q}\left(\frac{1}{2}p^2q\right) = -\frac{1}{2}p^2\)

c) Kanonische Transformation durch die Funktion \(F_3(p, Q)\)

Gegeben ist die Funktion:
\(F_3(p, Q)=\frac{1}{pQ'}\)
Nach der Aufgabenstellung sind die Transformationen gegeben durch:
\(q=-\frac{dF_3}{dp}, \quad P=-\frac{dF_3}{dQ}\)

Berechnen:
\(q=-\frac{d}{dp}\left(\frac{1}{pQ}\right) = \frac{1}{p^2Q}\)
\(P=-\frac{d}{dQ}\left(\frac{1}{pQ}\right) = \frac{1}{pQ^2}\)

Um zu verifizieren, dass diese Transformation kanonisch ist, betrachten wir die Poisson-Klammer:
\(\{Q, P\}=1\)
Für kanonische Transformationen muss die Poisson-Klammer zwischen den neuen Koordinaten \(Q\) und dem neuen Impuls \(P\) gleich 1 sein.

d) Hamiltonfunktion in neuen Koordinaten

Die ursprüngliche Hamiltonfunktion \(H=\frac{1}{2}p^2q\) muss nun in Termen von \(Q\) und \(P\) ausgedrückt werden.

Da \(q=\frac{1}{p^2Q}\) und \(p=\frac{1}{\sqrt{Q}P}\), setzen wir diese Terme in die Hamiltonfunktion ein:
\(H(Q, P) = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{Q}P}\right)^2\left(\frac{1}{\frac{1}{\sqrt{Q}P}^2Q}\right)\)
Vereinfachung führt auf:
\(H(Q, P) = \frac{1}{2}\frac{1}{P^2Q}\)
Diese neue Hamiltonfunktion in den transformierten Koordinaten \(Q, P\) zeigt die Energie des Systems in den neuen Koordinaten.

Die allgemeine Lösung der ursprünglichen Hamiltonschen Bewegungsgleichungen zu finden erfordert normalerweise die Integration dieser Gleichungen, was spezifisch vom System und den Anfangsbedingungen abhängt und kann hier aus den bereitgestellten Informationen nicht direkt vollzogen werden.