Interpolation anhand einer Wertetabelle - Stromstärke in Abhängigkeit von der Zeit

Question

Aufgabe:

Eine Messung der Stromstärke I in Abhängigkeit von der Zeit \( t \) ergebe die folgende Tabelle:

t [sec]	0	1	2	3	4	5
I [mA]	0	6	4	3	4	10

Welche Werte müssen die Koeffizienten der ganzen rationalen Funktion 5. Grades

\( \mathrm{I}(\mathrm{t}):=\sum \limits_{\mathrm{i}=0}^{5} \mathrm{a}_{\mathrm{i}} \mathrm{t}^{\mathrm{i}} \)

\( (\mathrm{t} \in \mathrm{R}) \)

annehmen, damit der Graph die sechs Punkte \( <\mathrm{t}_{\mathrm{i}}, \mathrm{T}\left(\mathrm{t}_{\mathrm{i}}\right)>(\mathrm{i} \in\{0, \ldots, 5\}) \) interpoliert (durch die Punkte verläuft)?

Answer 1

f(x) = ax^5 + bx^4 + cx^3 + dx^2 + ex + f

Hier die Bedingungen

f(0) = 0
f(1) = 6
f(2) = 4
f(3) = 3
f(4) = 4
f(5) = 10

Hier die Gleichungen für unser Gleichungssystem

f = 0
a + b + c + d + e + f = 6
32a + 16b + 8c + 4d + 2e + f = 4
243a + 81b + 27c + 9d + 3e + f = 3
1024a + 256b + 64c + 16d + 4e + f = 4
3125a + 625b + 125c + 25d + 5e + f = 10

Die Lösung ist dann

f(x) = 1/12·x^5 - 7/6·x^4 + 77/12·x^3 - 49/3·x^2 + 17·x

Skizze:

Answer 2

Hallo

6 gleichabständige Stützstellen P_2, P_1, P0, P1, P2, P3 lassen sich mit der Gaußschen Interpolationsformel interpolieren:

p5(x0 +t*h) = y0

                   +(y1 -y0 ) * (t über 1)

                   +(y1 -2y0 +y_1) * (t über 2)

                   +(y2 -3y1 +3y0 -y_1) * (t+1 über 3)

                   +(y2 -4y1 +6y0 -4y_1 +y_2) * (t+1 über 4)

                   +(y3 -5y2 +10y1 -10y0 +5y_1 -y_2) * (t+2 über 5)

P_2(0, 0)   und P_1(1, 6)   und P0(2, 4)  und P1(3, 3)  und P2(4, 4)   und P3(5, 10)

=> x0 = 2  ,  h = 1   => t = (x -x0) / h  = x -2

y = p5(x0 +t*h) = y0

                   +(y1 -y0 ) * t

                   +(y1 -2y0 +y_1) * (t^2 -t) / 2

                   +(y2 -3y1 +3y0 -y_1) * (t^3 -t) / 6

                   +(y2 -4y1 +6y0 -4y_1 +y_2) * (t^3 -t) * (t -2) / 24

                   +(y3 -5y2 +10y1 -10y0 +5y_1 -y_2) * (t^3 -t) * (t^2 -4) / 120

120 * y = 120 * 4

             +120 * (3 -4) * t

             +60 * (3 -8 +6) * (t^2 -t)

             +20 * (4 -9 +12 -6) * (t^3 -t)

             +5 * (4 -12 +24 -24 +0) * (t^4 -2 t^3 -t^2 +2 t)

             +(10 -20 +30 -40 +30 -0) * (t^5 -5 t^3 +4 t)

120 * y = 480

                -120 * t

                +60 * (t^2 -t)

                +20 * (t^3 -t)

                -40 * (t^4 -2 t^3 -t^2 +2 t)

                +10 * (t^5 -5 t^3 +4 t)

12 y = 48 -12 t +(6 t^2 -6 t) +(2 t^3 -2 t) -(4 t^4 -8 t^3 -4 t^2 +8 t) + (t^5 -5 t^3 +4 t)

12 y = t^5 -4 t^4 + 5 t^3 +10 t^2 -24 t +48

12 y = (x -2)^5 -4 (x -2)^4 +5 (x -2)^3 +10 (x -2)^2 -24 (x -2) +48

12 y = x^5 -14 x^4 +77 x^3 -196 x^2 +204 x

y = 1/12 (x^5 -14 x^4 +77 x^3 -196 x^2 +204 x)