Hallo,
$$ LI'+RI={ U }_{ 0 }\\\text{homogene Gleichung: }\\LI'+RI=0\\LdI/dt+RI=0\text{( I=0 triviale Lösung) }\\LdI/dt=-RI\\dI/I=-Rdt/L\\\int dI/I=\int-Rdt/L\\ln(|I|)=-Rt/L+C\\|I|={ e }^{ -Rt/L+C }={ e }^{ -Rt/L}{ e }^{ C}\\I=c{ e }^{ -Rt/L}, c\in\mathbb{R}\\\text{inhomogene Gleichung: }\\Ansatz:I(t)={ I }_{ 0 }=const.\\R{ I }_{ 0 }={ U }_{ 0 }\\{ I }_{ 0 }={ U }_{ 0 }/R\\I(t)=c{ e }^{ -Rt/L}+{ U }_{ 0 }/R\\Anfangsbedingung: I(0)=0\\c+{ U }_{ 0 }/R=0\\c=-{ U }_{ 0 }/R\\I(t)=\frac { -{ U }_{ 0 } }{ R }{ e }^{ -Rt/L}+\frac { { U }_{ 0 } }{ R }\\\lim_{t\to\infty} I(t)=\frac { { U }_{ 0 } }{ R } $$
