Antwort mit KI erzeugt
a) Wie groß sind die Resonanzfrequenz und die Resonanzamplitude? Mit welcher Anregungsamplitude wird das System angeregt?
Um die Resonanzfrequenz eines gedämpften Feder-Masse-Systems zu bestimmen, nutzen wir die Formel:
\( f_0 = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m} - \left(\frac{b}{2m}\right)^2} \)
, wobei \(k\) die Federkonstante, \(m\) die Masse, und \(b\) der Dämpfungswert ist. Da die Federkonstante nicht gegeben ist, können wir diese Formel so nicht direkt anwenden. Für die Resonanzamplitude und die Anregungsamplitude sind weitere Informationen nötig; insbesondere ohne die Anregungsfrequenz oder die Kraftamplitude können wir nicht direkt fortfahren. Jedoch gibt die Aufgabe Hinweise: die Resonanzüberhöhung beträgt 3, was bedeutet, dass die Resonanzamplitude dreimal größer als die Anregungsamplitude ist. Ohne genaue Werte der anregenden Kraft oder des Exzentrizitätsgrades können die exakten Amplitudenwerte nicht berechnet werden.
b) Skizzieren Sie qualitativ den Amplitudengang einer erzwungenen Schwingung und markieren Sie die Anregungsamplitude, die Resonanzamplitude, die Resonanzfrequenz und die Eigenfrequenz.
Eine qualitative Skizze des Amplitudengangs würde zeigen, dass die Amplitude der Schwingung mit zunehmender Anregungsfrequenz zunächst ansteigt, ein Maximum (die Resonanzamplitude) bei der Resonanzfrequenz erreicht, und dann mit weiter zunehmender Frequenz wieder abfällt. Die Anregungsamplitude ist die Amplitude des Systems bei niedrigen Frequenzen vor dem Anstieg zur Resonanzspitze. Die Resonanzamplitude ist der höchste Punkt auf der Kurve, und die Resonanzfrequenz ist die zugehörige Frequenz dieses Punktes. Die Eigenfrequenz des Systems ist die Frequenz, bei der das System ohne Dämpfung mit maximaler Amplitude schwingen würde; sie ist nahe, aber nicht identisch mit der Resonanzfrequenz aufgrund der Dämpfung.
c) Um welchen Schwingungstyp handelt es sich, wenn die Anregung abgeschaltet wird? Mit welcher Periodendauer schwingt das System weiter?
Nach dem Abschalten der Anregung würde das System frei gedämpft schwingen, da es noch immer Energie verliert und die Dämpfung (durch das Wasserbad) vorhanden ist. Für die freie gedämpfte Schwingung eines Feder-Masse-Systems kann die Periodendauer \(T\) durch die Eigenfrequenz \(f_0\) ausgedrückt werden:
\( T = \frac{1}{f_0} \)
Da \(f_0\) mittels der oben genannten Gleichung und der gegebenen Werte berechnet werden muss, ist es ohne Kenntnis der Federkonstante \(k\) schwierig, einen numerischen Wert für \(T\) zu finden.
d) Um welchen Schwingungstyp handelt es sich, wenn zusätzlich auch das Wasserbad entfernt wird? Mit welcher Periodendauer schwingt das System nun weiter?
Wenn sowohl die Anregung abgeschaltet als auch das Wasserbad entfernt wird, schwingt das System frei und ungedämpft. In diesem Fall wäre die Schwingung eine ideale harmonische Schwingung ohne Energieverlust. Die Periodendauer \(T\) für eine ungedämpfte harmonische Schwingung ist:
\( T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} \)
Ohne den Wert von \(k\) können wir dennoch nicht die Periodendauer berechnen, doch dies ist die Formel, die angewendet werden würde. Hierbei ist es wichtig, zu betonen, dass die Periodendauer in diesem ungedämpften Fall nur von der Masse \(m\) und der Federkonstante \(k\) abhängig ist, unbeeinflusst von der Dämpfungskonstante \(b\).
