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Aufgabe:

Die Amplitude einer erzwungenen Schwingung xm ist in folgender Gleichung durch

\( x_{m}=\frac{F_{e q}}{\sqrt{m^{2}\left(\omega_{o}^{2}-\omega^{2}\right)^{2}+b^{2} \omega^{2}}} \)

gegeben, wobei Fext die (konstante) Amplitude der äußeren periodischen Kraft auf die Feder soll.

Wie groß sind (a) die Amplitude und (b) die Geschwindigkeitsamplitude des oszillierenden Gegenstands unter Resonanzbedingungen bei geringer Dämpfung?

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Amplitude unter Resonanzbedingungen

Um die Amplitude unter den Resonanzbedingungen zu finden, müssen wir zuerst verstehen, was Resonanz in diesem Kontext bedeutet. Resonanz tritt auf, wenn die Frequenz der erzwungenen Schwingung (\(\omega\)) gleich der natürlichen Frequenz des Systems (\(\omega_{o}\)) ist. Das bedeutet \(\omega = \omega_{o}\).

Die Gleichung für die Amplitude \(x_{m}\) vereinfacht sich unter Resonanzbedingungen (\(\omega = \omega_{o}\)) zu:

\( x_{m}=\frac{F_{e q}}{\sqrt{m^{2}\left(\omega_{o}^{2}-\omega_{o}^{2}\right)^{2}+b^{2} \omega_{o}^{2}}} \)

Da \(\omega_{o}^{2} - \omega_{o}^{2} = 0\), vereinfacht sich die Gleichung weiter zu:

\( x_{m}=\frac{F_{e q}}{b \omega_{o}} \)

Das ist die Amplitude unter Resonanzbedingungen.

Geschwindigkeitsamplitude unter Resonanzbedingungen

Die Geschwindigkeit eines oszillierenden Gegenstands kann durch die Ableitung seiner Position nach der Zeit bestimmt werden. Die Position des Gegenstands als Funktion der Zeit in einer harmonischen Bewegung kann typischerweise als \(x(t) = x_{m} \sin(\omega t + \phi)\) ausgedrückt werden, wobei \(\phi\) die Phasenverschiebung darstellt. Die Geschwindigkeit \(v(t)\) ist die Ableitung von \(x(t)\) nach der Zeit \(t\):

\( v(t) = \frac{d}{dt} [x_{m} \sin(\omega t + \phi)] = \omega x_{m} \cos(\omega t + \phi) \)

Unter Resonanzbedingungen ist die Amplitude der Geschwindigkeit (\(v_{m}\)) dann das Maximum von \(v(t)\), wobei \(\cos(\omega t + \phi)\) maximal 1 sein kann. Daher:

\( v_{m} = \omega x_{m} = \omega \left(\frac{F_{e q}}{b \omega_{o}}\right) \)

Da unter Resonanzbedingungen \(\omega = \omega_{o}\) ist, erhalten wir:

\( v_{m} = \frac{F_{e q}}{b} \)

Zusammenfassung:

- Amplitude unter Resonanzbedingungen: \(x_{m} = \frac{F_{e q}}{b \omega_{o}}\)
- Geschwindigkeitsamplitude unter Resonanzbedingungen: \(v_{m} = \frac{F_{e q}}{b}\)
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