Phasendiagramm von Potentialtopf aufstellen

Question

Aufgabe zu Potentialtöpfen:

In diesem Bespiel haben wir ein Teilchen im Potentialtopf

\( V(x)=\left\{\begin{array}{ll} V_{0} & \text { für } x<-L / 2 \\ 0 & \text { für }-L / 2<x<L / 2 \\ V_{0} & \text { für } L / 2<x \end{array}\right. \)

mit \( V_{0}>0 \) und \( L>0 \).

Ansatz/Problem:

Ich würde hier normal vorgehe wie üblich. Der Potentialkasten hat ja die Länge \( L \), wobei das eine Ende des Potentialkastens bei \( x=-\frac{L}{2} \) und das andere Ende bei \( x=\frac{L}{2} \) liegt. Im Inneren ist das Potential Null und außerhalb ist es konstant \( V_{0} \).

Die Energie \( W>0 \) des Teilchens kann nun entweder größer ( gebundener Zustand) als die Potentialbarriere \( W>V_{0} \) oder kleiner \( W<V_{0} \) (ungebundener Zustand) sein.

Hierbei geht es um das Bestimmen der Lösungen der S-Gleichungen, für drei verschiedene Anfangsbedingungen die Lösung der Hamiltonschen Gleichungen in einem \( x-p \) -Diagramm (d.h., im Phasenraum) zu plotten. Hier komme ich nicht weiter, habt ihr eine Idee, wie ich das machen muss bzw. wie das im xp Diagramm aussehen würde?

Die Lösungen der Hamiltonschen Gleichungen für diesen Fall sind:

Für das Innere des Potentialtopfes:
\( \psi_{1}(x)=A \cos (\alpha x)+B \sin (\alpha x) \)

Bereich rechtes des Potentialtopfes:
\( \psi_{2}(x)=C \mathrm{e}^{-\beta x} \)

Bereich links des Potentialtopfes:
\( \psi_{3}(x)=G \mathrm{e}^{\beta x} \)


Siehe Bild - Müsste das so aussehen?


Und noch kurz zu der weiteren Aufgabe eine Frage:

Man soll diejenigen Energiewerte von gebundenen Zuständen \( \left(0<E<V_{0}\right) \) bestimmen, die durch die Bohr(-Wilson)-Sommerfeld-Bedingung

\( \frac{1}{2 \pi} \oint p d x=n \hbar, \quad n \in \mathbb{N} \)

ausgewählt sind. (Der Kreis im Integralzeichen soll anzeigen, dass die Integration über eine Periode auszuführen ist.)


Meine Lösung wäre:

\( E_{n}=E_{k i n}+E_{p o t}=\frac{1}{2} E_{p o t}=-\frac{m e^{4}}{e \epsilon_{0}^{2} n^{2} h^{2}} \)
mit Impuls:
\( E_{n}=-\frac{m e^{4}}{e \epsilon_{0}^{2}\left(p_{n} 2 L\right)^{2}} \)

Wäre das richtig?

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

Phasendiagramm von Potentialtopf

Um ein Phasendiagramm eines Teilchens in einem eindimensionalen Potentialtopf aufzustellen, betrachten wir zuerst die gegebenen Informationen und formulieren die Lösung der Schrödinger-Gleichung in den verschiedenen Bereichen um das Problem im Phasenraum zu visualisieren.

Gegebene Informationen:

- Das Potential \(V(x)\) ist wie folgt definiert:
\( V(x)=\left\{\begin{array}{ll} V_{0} & \text {für } x<-L / 2 \\ 0 & \text {für } -L / 2<x<L / 2 \\ V_{0} & \text {für } L / 2<x \end{array}\right. \)
mit \(V_{0}>0\) und \(L>0\).

- Die Wellenfunktionen (\(\psi\)) innerhalb und außerhalb des Potentialtopfes sind wie folgt gegeben:
- Im Inneren des Potentialtopfes: \(\psi_{1}(x)=A \cos (\alpha x)+B \sin (\alpha x)\)
- Bereich rechts des Potentialtopfes: \(\psi_{2}(x)=C e^{-\beta x}\)
- Bereich links des Potentialtopfes: \(\psi_{3}(x)=G e^{\beta x}\)

Phasendiagramm:

Ein Phasendiagramm (oder Phasenraumdiagramm) im Kontext der Quantenmechanik ist eine Darstellung der Wellenfunktion oder des Impulses eines Teilchens in Abhängigkeit von seiner Position. Jedoch für das hier beschriebene Szenario könnten die anschaulicheren Darstellungen des Teilchens in einem Potentialtopf eher auf Wahrscheinlichkeitsdichten oder Energiezuständen beruhen, als auf klassischen Phasenraumtrajektorien.

In klassischer Mechanik würde das Phasendiagramm die Trajektorie eines Teilchens (also seinen Impuls und seine Position) über die Zeit darstellen. Da wir hier jedoch ein quantenmechanisches Problem betrachten, wäre das direkte Übertragen dieser Idee in Form von Impuls (p) gegen Position (x) Diagrammen nicht gänzlich korrekt ohne eine gewisse Interpretation.

Die wahrscheinlichste Interpretation Ihrer Frage zielt darauf ab, die erlaubten Energiezustände (quantisiert) im Potentialtopf zu verstehen oder zu zeigen, wie die Wahrscheinlichkeitsamplituden oder -dichtefunktionen im Raum verteilt sind.

Bohr-Wilson-Sommerfeld Quantisierungsbedingung:

Die Bedingung, die Sie für die Energiewerte \(E_n\) zu bestimmen versucht haben, scheint aus dem Modell der alten Quantentheorie (vor der Entwicklung der Quantenmechanik) zu stammen, würde aber hier nicht direkt anwendbar sein, wie im letzten Teil Ihrer Frage skizziert. Für ein quantenmechanisches System wie den beschriebenen Potentialtopf, müsste die Bestimmung der Energieniveaus durch die Lösung der Schrödinger-Gleichung erfolgen, was zu Transzendentengleichungen führt, die die Wellenfunktionen an den Grenzen des Potentialtopfes miteinander verbinden.

Um die Energiewerte zu bestimmen, benutzt man in der Quantenmechanik typischerweise die Bedingung, dass die Wellenfunktionen im Unendlichen verschwinden müssen (für gebundene Zustände) und dass sie an den Grenzen des Potentialtopfes (also bei \(x = -L/2\) und \(x = L/2\)) stetig zusammenpassen müssen. Dies führt auf Quantisierungsbedingungen für die Energie, da nur bestimmte Wellenlängen (oder Energien) diese Bedingungen erfüllen.

Fazit:

Um ein korrektes Phasendiagramm für den gegebenen Kontext zu erstellen, müsste man sich auf die quantenmechanischen Eigenheiten und insbesondere auf die Interpretation von Wahrscheinlichkeitsdichten konzentrieren. Ihre Frage nach der Visualisierung im \(x-p\)-Diagramm passt eher zu einer klassischen Mechanik Darstellung, wohingegen die Quantenmechanik Wahrscheinlichkeitsamplituden für Zustandsfunktionen im Konfigurationsraum betrachtet. Die genannte Bohr-Wilson-Sommerfeld-Bedingung führt in diesem speziellen Fall nicht ohne Weiteres zu den korrekten Energiestufen, da die korrekte Herangehensweise die Lösung der Schrödinger-Gleichung und das Anwenden der passenden Randbedingungen wäre.