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Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte \( \rho(x, t) \) und Strom \( j(x, t) \)
Um die Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte \( \rho(x, t) \) zu bestimmen, nutzen wir die gegebene Wellenfunktion \(\psi(x, t)\) und berechnen das Betragsquadrat:
\(
\psi(x, t) = A_{0} e^{-i E_{0} t / \hbar} \phi_{0}(x) + A_{1} e^{-i E_{1} t / \hbar} \phi_{1}(x)
\)
Da \( \phi_{n}(x) \) normierte Eigenfunktionen sind, gilt für die Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte \( \rho(x, t) = \psi^{*}(x, t) \psi(x, t) \):
\(
\rho(x, t) = |\psi(x, t)|^{2} = (A_{0} e^{i E_{0} t / \hbar} \phi_{0}^{*}(x) + A_{1} e^{i E_{1} t / \hbar} \phi_{1}^{*}(x)) (A_{0} e^{-i E_{0} t / \hbar} \phi_{0}(x) + A_{1} e^{-i E_{1} t / \hbar} \phi_{1}(x))
\)
Um das zu vereinfachen, berücksichtigen wir die Orthogonalität der Eigenfunktionen \(\phi_{n}(x)\), das heißt \(\int \phi_{n}^{*}(x) \phi_{m}(x) dx = \delta_{nm}\), wo \(\delta_{nm}\) das Kronecker-Delta ist (1 für \(n=m\) und 0 sonst).
Da \(A_0\) und \(A_1\) reell sind und unter Berücksichtigung der Eigenenergien, ergibt sich:
\(
\rho(x, t) = A_{0}^{2} |\phi_{0}(x)|^{2} + A_{1}^{2} |\phi_{1}(x)|^{2} + 2 A_{0} A_{1} \text{Re}\{\phi_{0}^{*}(x) \phi_{1}(x) e^{-i (E_{1} - E_{0}) t / \hbar}\}
\)
Da \(E_1 = \frac{3}{2}\hbar \omega\) und \(E_0 = \frac{1}{2}\hbar \omega\), ist der Unterschied in den Exponentialfaktoren gegeben durch \(-i (E_{1} - E_{0}) t / \hbar = -i \hbar \omega t\).
Um den Wahrscheinlichkeitsstrom \(j(x, t)\) zu bestimmen, nutzt man die kontinuierliche Schrödinger-Gleichung und definiert \(j\) als:
\(
j(x, t) = \frac{\hbar}{2mi}(\psi^{*} \nabla \psi - \psi \nabla \psi^{*})
\)
In einer Dimension vereinfacht sich das zu:
\(
j(x, t) = \frac{\hbar}{2mi}(\psi^{*}(x, t) \frac{d\psi}{dx}(x, t) - \psi(x, t) \frac{d\psi^{*}}{dx}(x, t))
\)
Für die spezifische Berechnung von \(j(x,t)\) müssen die expliziten Formen von \(\psi(x,t)\) und deren räumlichen Ableitungen eingesetzt werden. Die genaue Form ist komplex und hängt von der Form der \(\phi_n(x)\) ab.
Diskussion des Verhaltens der Aufenthaltswahrscheinlichkeit in Abhängigkeit von der Zeit
Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit \( \rho(x, t) \) enthält einen zeitabhängigen Term, der auf die Überlagerung der ersten beiden Zustände zurückzuführen ist. Dies führt zu Interferenzeffekten zwischen diesen Zuständen, die zeitabhängige Oszillationen in der Aufenthaltswahrscheinlichkeit hervorrufen können. Diese Oszillationen stellen eine nicht stationäre Dynamik des Systems dar, die zeigt, dass die Wahrscheinlichkeitsdichte nicht zeitunabhängig ist, im Gegensatz zur anfänglich vorgestellten simplifizierten Überlegung.
Die Interpretation, dass die Aufenthaltswahrscheinlichkeit oder Wahrscheinlichkeitsdichte räumlich (und zeitlich) konstant ist, ist somit nicht korrekt für Überlagerungszustände wie in diesem Szenario, wo \(\psi(x, t)\) eine Linearkombination von Eigenzuständen ist. Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit und somit die Unschärfe in der Ortung des Teilchens wird durch die Form der Wellenfunktion \(\psi(x, t)\) und deren Zeitabhängigkeit beeinflusst. Dabei führt die zeitabhängige Phase \(e^{-i E_n t / \hbar}\) zu der erwähnten zeitlichen Variation in \(\rho(x,t)\), was bedeutet, dass die Lokalisierung des Teilchens im System zeitabhängig variiert. Eine unendliche Ortsunschärfe \(\Delta x\) und eine verschwindende Impulsunschärfe \(\Delta p\) sind für diesen Zustand nicht zutreffend, da die Heisenbergsche Unschärferelation diskrete, nicht verschwindende Werte für \(\Delta x\) und \(\Delta p\) vorhersagt, insbesondere in einem gebundenen System wie einem harmonischen Oszillator.
