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Aufgabe b) Bestimmen Sie alle unbekannten Drücke und Temperaturen an den vier Eckpunkten des Prozesses.
Um alle unbekannten Drücke und Temperaturen im Carnotprozess zu bestimmen, lassen wir uns von den gegebenen Werten und den Eigenschaften eines Carnotprozesses leiten. Beim Carnotprozess handelt es sich um einen idealisierten Kreisprozess, der aus zwei adiabatischen (isentropen) und zwei isothermen Zustandsänderungen besteht. In der gegebenen Aufgabe erfahren wir jedoch von einer realen adiabatischen Entspannung mit einem Isentropen-Wirkungsgrad von \(\eta_{ST} = 0,9\), was eine Anpassung der Berechnungen erforderlich macht.
Gegebene Werte:
- \(T_4 = 350 K\): Temperatur nach der adiabaten Entspannung
- Höchster Druck im Kreislauf: \(p_{max} = 10\) bar
- Niedrigster Druck im Kreislauf: \(p_{min} = 2\) bar
- Der Druck verdoppelt sich während der adiabaten Verdichtung
Schritt 1: Bestimmung der Eckpunkte im Carnotprozess
1.
Startpunkt 1 (adiabatische Verdichtung beginnt): Der niedrigste Druck \(p_1 = p_{min} = 2\) bar. Da es sich um den Start der adiabaten Verdichtung handelt, wird dieser Punkt auch der Beginn der kältesten Temperatur \(T_1\) sein, welche wir später berechnen.
2.
Punkt 2 (Ende der adiabaten Verdichtung und Beginn der isothermen Expansion): Bei der adiabaten Verdichtung verdoppelt sich der Druck, was bedeutet, dass \(p_2 = 2 \times p_1 = 4\) bar.
3.
Punkt 3 (Ende der isothermen Expansion und Beginn der adiabaten Entspannung): Dies ist der Punkt mit dem höchsten Druck im Kreisprozess: \(p_3 = p_{max} = 10 \) bar. Die Temperatur bei diesem Punkt (\(T_3\)) müssen wir noch berechnen.
4.
Punkt 4 (Ende der adiabaten Entspannung und Beginn der isothermen Kompression): Nach der adiabaten Entspannung liegt die Luft bei einer Temperatur von \(T_4 = 350 K\) vor. Der Druck, den die Luft am Ende der Entspannung hat, ist \(p_4 = 5 \) bar. Das basiert auf der Information, dass der Druck sich während der adiabaten Verdichtung verdoppelt, also muss er sich während der adiabaten Entspannung halbieren (\(p_3 / 2 = 10 \text{ bar} / 2 = 5 \text{ bar}\)).
Schritt 2: Berechnung der fehlenden Temperaturen
Um die fehlenden Temperaturen zu berechnen, nutzen wir die Tatsache, dass \(\frac{T_1}{T_2} = \frac{T_4}{T_3}\) bei einem idealen Carnot-Prozess gilt, und dass die Änderung der Entropie zwischen zwei Zuständen für eine ideale Gasgleichung definiert wird als \(ΔS = c_p \ln{\frac{T_2}{T_1}} - R \ln{\frac{p_2}{p_1}} = 0\) für eine isentrope Prozessführung. Diese Gleichungen müssen unter Berücksichtigung des realen Isentropen-Wirkungsgrades \(η_{ST}\) und gegebenen Spezifika der Prozessführung angepasst werden.
Da die Berechnung der Temperaturen \(T_1\) und \(T_3\) Berechnungen erfordern würde, die Kenntnisse über die spezifischen Wärmekapazitäten von Luft sowie über detailliertere Gleichungen zur Berücksichtigung des realen Isentropen-Wirkungsgrads notwendig machen, hier ein allgemeiner Ansatz:
- Die isentrope Zustandsänderung (adiabate ohne Wärmeaustausch) zwischen Zuständen folgt der Gleichung: \(T_2 \cdot p_2^{(\frac{-\gamma}{\gamma-1})} = T_1 \cdot p_1^{(\frac{-\gamma}{\gamma-1})}\), wobei \(\gamma\) das Verhältnis der spezifischen Wärmen ist (für Luft etwa 1.4).
- Für eine ideale isotherme Zustandsänderung gilt, dass das Produkt aus Druck und Volumen konstant bleibt (\(pV = nRT\)), was bedeutet, dass die Temperatur \(T_3\) mittels der idealen Gasgleichung unter Berücksichtigung der Druckverhältnisse berechnet werden kann.
Schritt 3: Spezifische Berechnungen
Ohne spezifische Werte für die spezifischen Wärmekapazitäten und ohne die Anfangstemperatur können wir die exakten Temperaturen (\(T_1\) und \(T_3\)) nicht berechnen. Jedoch wäre eine solche Berechnung abhängig von den gegebenen Beziehungen und der Nutzung der gasidealen Zustandsgleichung sowie der Beziehung für isentrope Prozesse unter Einbeziehung des realen Isentropen-Wirkungsgrades.
Zusammenfassung:
- \(p_1 = 2\) bar, \(p_2 = 4\) bar, \(p_3 = 10\) bar, \(p_4 = 5\) bar.
- Ohne Anfangstemperatur oder spezifische Wärmekapazitäten von Luft können die genauen Werte für \(T_1\) und \(T_3\) nicht ermittelt werden.
- Um \(T_1\) und \(T_3\) zu berechnen, wären detaillierte Gleichungen zur Beschreibung der realen isentropen Entspannung mit Wirkungsgrad und ideale Gasgesetze nötig.
