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Erklärung zur Verschiebung aufgrund von Biegung und Zugbeanspruchung
Um die horizontale Verschiebung des Punktes C in der gegebenen Konfiguration zu berechnen, betrachten wir die drei Hauptbeiträge, die zur Verschiebung führen: durch Biegung infolge der Streckenlast \(q_o\), durch Biegung infolge des Moments \(M\), und durch direkte Zugbeanspruchung aufgrund der aufgebrachten Kräfte.
Beitrag durch Biegung infolge der Streckenlast \(q_o\)
Die Streckenlast \(q_o\) führt zu einer Durchbiegung des Balkens. Diese Durchbiegung ist jedoch primär in der vertikalen Richtung. Für die horizontale Verschiebung des Punktes C müssen wir die Schiefstellung des Balkens betrachten, die durch die Biegung bedingt ist. Die Formel für diese Art der Verschiebung kann durch die Verwendung der Differentialgleichung der Biegelinie erhalten werden. Die Formel lautet:
\(
\delta = \frac{q_o L^4}{8EI}
\)
wobei \(L\) die Länge des Balkens, \(E\) der Elastizitätsmodul des Materials und \(I\) das Flächenträgheitsmoment ist. Diese Formel gibt jedoch die maximale Durchbiegung in der Mitte bei symmetrischer Lastverteilung an. Für die Schiefstellung und damit für die horizontale Komponente der Verschiebung an einem Endpunkt müssten weitere Überlegungen angestellt werden.
Beitrag durch Biegung infolge des Moments \(M\)
Das aufgebrachte Moment \(M\) führt ebenfalls zu einer Biegung des Balkens. Die Berechnung der Verschiebung infolge eines Moments an einem Ende des Balkens kann über die Formel:
\(
\delta = \frac{M L^2}{2EI}
\)
erfolgt sein, wobei die Variablen dieselben Bedeutungen wie oben haben. Diese Formel setzt voraus, dass das Moment am Balkenende angreift und eine reine Biegung verursacht.
Beitrag durch Zugbeanspruchung
Die Zugbeanspruchung, die zur horizontalen Verschiebung des Punktes C beitragen kann, resultiert in der Regel aus direkt auf den Balken wirkenden axialen Kräften. Diese führen zu einer Dehnung (bei Zug) oder Stauchung (bei Druck) des Materials. Die Formel, um diese Art der Verschiebung zu berechnen, lautet:
\(
\delta = \frac{FL}{AE}
\)
wobei \(F\) die axial wirkende Kraft, \(A\) der Querschnittsfläche des Balkens, \(L\) die ursprüngliche Länge des Balkens, und \(E\) der Elastizitätsmodul ist.
Es ist wichtig zu beachten, dass in der gegebenen Skizze nicht explizit eine axial wirkende Kraft angezeigt ist, die zur Zugbeanspruchung führen würde. Die Zugbeanspruchung kann jedoch aus Reaktionen des Supports oder aus einer nicht dargestellten axialen Belastung resultieren. In realen Anwendungen kann jede Form der Befestigung oder der Einbindung des Balkens in eine Struktur axiale Spannungen hervorrufen, die zu einer merklichen horizontalen Verschiebung führen könnten.
Um die gesamte horizontale Verschiebung des Punktes C zu berechnen, müssen die Beiträge aus den verschiedenen Effekten (abhängig von den genauen Bedingungen und Lasten) superponiert, sprich zusammenaddiert werden.
