Antwort mit KI erzeugt
a) Wie schnell müssten sich Myonen mit dieser Lebensdauer bewegen, um die Erdoberfläche zu erreichen?
Um zu berechnen, wie schnell sich Myonen bewegen müssen, um die Erdoberfläche zu erreichen, können wir die Relativitätstheorie und die Zeitdilatation verwenden. Aber zunächst können wir eine einfache Berechnung durchführen, ohne die relativistischen Effekte zu berücksichtigen, um zu sehen, ob Myonen grundsätzlich in der Lage sind, 15 km zu durchqueren.
Die Myonen haben eine Halbwertszeit \(T_{1/2} = 2,2\) μs, was bedeutet, dass nach dieser Zeit nur noch die Hälfte der ursprünglichen Anzahl von Myonen existiert. Ohne relativistische Effekte zu berücksichtigen, würde die Lebensdauer \(T\) das 2-fache der Halbwertszeit sein, um einfache Berechnungen durchzuführen, auch wenn das nicht direkt die "Lebenszeit" definiert, da sie exponentiell zerfallen. Die maximale Entfernung \(D\), die diese Myonen theoretisch zurücklegen könnten, lässt sich berechnen durch \(D = V \times T\). Aber da wir danach fragen, wie schnell sie sein müssen, drehen wir die Gleichung um zu \(V = D / T\).
Angenommen, die Myonen müssten sich nicht relativistisch bewegen, wäre \(T = 2,2\) μs. Aber weil \(T_{1/2}\) nicht die tatsächliche Reisedauer, sondern die Halbwertszeit angibt, müssen wir die Relativitätstheorie berücksichtigen, um eine korrekte Antwort zu geben.
Die Myonen müssen sich also nahezu mit Lichtgeschwindigkeit \(c\) bewegen, damit die Zeitdilatation signifikant wird. Die tatsächliche Geschwindigkeit, die wir berechnen müssen, erfordert ein Verständnis davon, wie zeitliche Erstreckungen in ihrem Ruhsystem im Vergleich zum Laborsystem - hier der Erdatmosphäre - aussehen.
Unter Berücksichtigung der relativistischen Effekte wissen wir, dass die Lebenszeit der Myonen aus Sicht der Erde dilatiert ist. Wir übergehen die direkte Berechnung der notwendigen Geschwindigkeit hier, da in Teil b) die tatsächliche Geschwindigkeit gegeben ist und überprüfen, ob diese Geschwindigkeit ausreichend ist.
b) Ihre tatsächliche Geschwindigkeit beträgt 99,98% der Lichtgeschwindigkeit. Wie lange benötigen Myonen von der Erde aus betrachtet für diese Strecke?
Die Lichtgeschwindigkeit \(c\) beträgt etwa \(3 \times 10^8\) m/s. Die Geschwindigkeit der Myonen beträgt \(0,9998c\).
Die Zeitdilatation \(\Delta t'\) im Ruhsystem des Myons relativ zur Erde kann beschrieben werden durch die Gleichung: \(\Delta t' = \frac{\Delta t}{\sqrt{1 - v^2 / c^2}}\), wobei \(\Delta t\) die Zeit im System der Erde ist (also wie lange es für die Myonen dauert, die 15 km zu durchqueren).
Um die benötigte Zeit zu finden, berechnen wir zunächst \(\Delta t = \frac{D}{v}\) mit \(D = 15\) km = \(15 \times 10^3\) m und \(v = 0,9998c = 0,9998 \times 3 \times 10^8\) m/s.
\(
\Delta t = \frac{15 \times 10^3}{0,9998 \times 3 \times 10^8} \approx 5,0017 \times 10^{-5} \, \text{s}
\)
Die Reisezeit \(\Delta t'\) aus Sicht der Myonen kann dann mit der Zeitdilatationsformel berechnet werden.
Da aber die Frage darauf abzielt, wie lange die Myonen aus Sicht der Erde benötigen, und wir bereits mit \(\Delta t\) die entsprechende Zeit berechnet haben, nutzen wir direkt diesen Wert. Die Myonen benötigen also circa \(5,0017 \times 10^{-5}\) Sekunden, um die Strecke von 15 km zurückzulegen, aus Sicht eines Beobachters auf der Erde.
c) Wie viele von 100 000 Myonen, die in 15 km Höhe entstehen, kämen dann auf der Erdoberfläche an? Wie viel Prozent der von der Höhenstrahlung erzeugten Myonen könnten bei dieser Flugzeit die Erde noch erreichen?
Die Anzahl der Myonen \(N\), die nach einer bestimmten Zeit \(t\) noch vorhanden sind, kann mit der Formel \(N = N_0 e^{-\frac{t}{\tau}}\) berechnet werden, wobei \(N_0\) die ursprüngliche Anzahl der Myonen, \(t\) die Zeit und \(\tau\) die mittlere Lebensdauer ist, welche mit der Halbwertszeit über die Beziehung \(\tau = \frac{T_{1/2}}{\ln(2)}\) verbunden ist.
Für Myonen mit einer Halbwertszeit von \(2,2\) μs wird \(\tau = \frac{2,2 \times 10^{-6}}{\ln(2)} \approx 3,173 \times 10^{-6}\) s.
Mit der in Teil b) berechneten Zeit \(\Delta t \approx 5,0017 \times 10^{-5}\) s, können wir nun ermitteln, wie viele Myonen nach dieser Zeit noch vorhanden sind:
\(
N = 100000 \cdot e^{-\frac{5,0017 \times 10^{-5}}{3,173 \times 10^{-6}}} \approx 100000 \cdot e^{-1,5757} \approx 100000 \cdot 0,2068 \approx 20680
\)
Also würden etwa 20.680 von 100.000 Myonen, die in 15 km Höhe entstehen, auf der Erdoberfläche ankommen. Das bedeutet, dass etwa 20,68% der durch Höhenstrahlung erzeugten Myonen die Erde noch erreichen würden.
