Antwort mit KI erzeugt
Phasengeschwindigkeit
Zu Beginn berechnen wir den Wellenvektor \(k\), der als \(k = \frac{2\pi}{\lambda}\) definiert ist. Mit einer Wellenlänge \(\lambda = 16\) Metern ergibt dies:
\(k = \frac{2\pi}{16} = \frac{\pi}{8}\)
Die Dispersionsrelation für Tiefwasserwellen lautet \(\omega = \sqrt{gk}\), wobei \(g\) die Erdbeschleunigung (\(\approx 9,81 \, \text{m/s}^2\)) ist. Setzen wir die Werte ein, um \(\omega\) zu finden:
\(\omega = \sqrt{9,81 \cdot \frac{\pi}{8}}\)
Nun berechnen wir die Wurzel:
\(\omega = \sqrt{9,81 \cdot 0,3927} \approx \sqrt{3,85} \approx 1,96\)
Die Phasengeschwindigkeit \(v_p\) einer Welle wird durch die Gleichung \(v_p = \frac{\omega}{k}\) gegeben. Setzen wir die bekannten Werte ein:
\(v_p = \frac{1,96}{\frac{\pi}{8}} \approx \frac{1,96}{0,3927} \approx 5\, \text{m/s}\)
Gruppengeschwindigkeit
Die Gruppengeschwindigkeit (\(v_g\)) in Tiefwasserwellen lässt sich durch die partielle Ableitung der Dispersionsrelation \(\omega\) nach \(k\) berechnen:
\(v_g = \frac{d\omega}{dk}\)
Da \(\omega = \sqrt{gk}\), führen wir die Ableitung durch:
\(\frac{d\omega}{dk} = \frac{d}{dk}\left(\sqrt{gk}\right) = \frac{d}{dk}\left(gk\right)^{1/2}\)
Nutzen wir die Kettenregel:
\(= \frac{1}{2}(gk)^{-1/2} \cdot g = \frac{g}{2\sqrt{gk}}\)
Ersetzen wir \(gk\) mit unseren zuvor berechneten Werten, erhalten wir:
\(v_g = \frac{9,81}{2\sqrt{9,81 \cdot \frac{\pi}{8}}}\)
\(= \frac{9,81}{2 \cdot 1,96}\)
\(= \frac{9,81}{3,92} \approx 2,5\, \text{m/s}\)
Zusammenfassend ergibt sich eine Phasengeschwindigkeit von \(v_p \approx 5\, \text{m/s}\) und eine Gruppengeschwindigkeit von \(v_g \approx 2,5\, \text{m/s}\) für eine Tiefwasserwelle mit einer Wellenlänge von 16 Metern.
