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Klassische Wellengleichung zeigen
Um zu zeigen, dass die klassische Wellengleichung
\(
\frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2} \psi}{\partial t^{2}}=\Delta \psi, \quad c=\mathrm{const.}, \Delta=\vec{\nabla} \cdot \vec{\nabla}
\)
Lösungen in Form von ebenen harmonischen Wellen, \( \psi(\vec{r}, t)=A e^{i(\vec{k} \cdot \vec{r}-\omega t)} \), besitzt, führen wir die gegebene Form für \( \psi(\vec{r}, t) \) in die Wellengleichung ein.
1.
Zeitliche Ableitung berechnen:
\(
\frac{\partial^{2} \psi}{\partial t^{2}} = \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}} \left(A e^{i(\vec{k} \cdot \vec{r}-\omega t)}\right) = A (-i\omega)^{2} e^{i(\vec{k} \cdot \vec{r}-\omega t)} = -\omega^{2} A e^{i(\vec{k} \cdot \vec{r}-\omega t)}
\)
2.
Räumliche Ableitung (Laplace-Operator) berechnen:
\(
\Delta \psi = \vec{\nabla} \cdot \vec{\nabla} \psi = \vec{\nabla} \cdot \left( \vec{\nabla} A e^{i(\vec{k} \cdot \vec{r}-\omega t)}\right)
\)
Da \(A\) eine Konstante ist, haben wir:
\(
\Delta \psi = A \vec{\nabla} \cdot \left( i\vec{k} e^{i(\vec{k} \cdot \vec{r}-\omega t)}\right) = -A |\vec{k}|^{2} e^{i(\vec{k} \cdot \vec{r}-\omega t)}
\)
Hierbei nutzen wir die Eigenschaft, dass die Ableitung der Exponentialfunktion nach einer Variablen, multipliziert mit dem Koeffizienten dieser Variablen im Exponenten ist.
3.
Einsetzen in die Wellengleichung:
Nach dem Einsetzen der berechneten zeitlichen und räumlichen Ableitungen erhalten wir:
\(
\frac{1}{c^{2}} (-\omega^{2} A e^{i(\vec{k} \cdot \vec{r}-\omega t)}) = -A |\vec{k}|^{2} e^{i(\vec{k} \cdot \vec{r}-\omega t)}
\)
Dies vereinfacht sich zu:
\(
\frac{\omega^{2}}{c^{2}} = |\vec{k}|^{2}
\)
oder
\(
\omega = c |\vec{k}|
\)
Diese Beziehung zeigt, dass die angenommene Form einer ebenen harmonischen Welle eine Lösung der Wellengleichung ist, solange die Bedingung \( \omega = c |\vec{k}| \) erfüllt ist.
Phasen- und Gruppengeschwindigkeit
-
Phasengeschwindigkeit \(v_{p}\):
Die Phasengeschwindigkeit ist die Geschwindigkeit, mit der sich die Phase einer Welle ausbreitet. Sie ist gegeben durch:
\(
v_{p} = \frac{\omega}{|\vec{k}|}
\)
Mit \(\omega = c |\vec{k}|\), erhalten wir:
\(
v_{p} = c
\)
Dies bedeutet, dass die Phasengeschwindigkeit gleich der Konstanten \(c\) ist.
-
Gruppengeschwindigkeit \(v_{g}\):
Die Gruppengeschwindigkeit beschreibt, wie schnell sich die Einhüllende einer Wellengruppe (Paket) bewegt. Sie ist definiert als:
\(
v_{g} = \frac{d\omega}{d|\vec{k}|}
\)
Für \( \omega = c |\vec{k}| \) ergibt sich:
\(
v_{g} = c
\)
In diesem Fall sind Phasen- und Gruppengeschwindigkeit gleich.
Unterschiede zur freien Schrödingergleichung
- Die klassische Wellengleichung beschreibt Wellenphänomene wie Licht- und Schallwellen im Rahmen der klassischen Physik.
- Die freie Schrödingergleichung ist ein zentrales Element der Quantenmechanik und beschreibt die zeitliche Entwicklung der Wellenfunktion eines quantenmechanischen Teilchens ohne äußere Kräfte.
Die Hauptunterschiede sind:
- Natur: Die klassische Wellengleichung ist ein Konzept der klassischen Physik, während die Schrödingergleichung zur Quantenmechanik gehört.
- Phänomene: Die Wellengleichung wird typischerweise für die Ausbreitung von Wellen wie Licht und Schall in verschiedenen Medien verwendet, wohingegen die Schrödingergleichung für die Beschreibung der Quantenzustände von Teilchen benutzt wird.
- Mathematische Form: Die Schrödingergleichung ist typischerweise eine Differentialgleichung erster Ordnung in der Zeit, während die klassische Wellengleichung eine Differentialgleichung zweiter Ordnung in der Zeit ist.
