Gekoppelte Massen - Unterstützung bei der Lösung?

Question

Aufgabe:

b) Zeigen Sie mit Hilfe des Newton’schen Gesetzes, dass die Auslenkungen aus der Ruhelage durch das folgende DGL System beschrieben werden kann
\( \begin{pmatrix} \ddot{x_{1} }(t) \\ \ddot{x_{2} }(t) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\frac{k1+k2}{m}  & \frac{k2}{m}\\ \frac{k2}{m}  & -\frac{k1+k2}{m}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{1}(t)  \\ x_2 (t)\end{pmatrix} \)

c) Bestimmen Sie die Eigenwerte λ1,λ2 und die zugehörigen Eigenvektoren v1, v2 der Koeffizientenmatrix.

d) Die allg. Lösung für die Orte (x1,x2)^T kann ebenfalls mit den Eigenwerten und -Vektoren angegeben werden

$$ \begin{pmatrix} x_1(t)\\x_2(t) \end{pmatrix} = C_1*\vec{v}_1*e^{α_1t}+C_2*\vec{v}_1*e^{-α_1t}+C_3*\vec{v}_2*e^{α_2t}+C_4*\vec{v}_2*e^{-α_2t} $$

wobei \( C_{1}, C_{2}, C_{3}, C_{4} \in \mathbb{C} \) und \( \alpha_{1}=\sqrt{\lambda_{1}}, \alpha_{2}=\sqrt{\lambda_{2}} \) ist.
Warum erhält man durch diesen Zusammenhang zwischen \( \alpha \) und den Eigenwerten \( \lambda \) die Lösung des DGL-Systems?

Problem/Ansatz:

Lösung zu b) \( m*(\ddot{x_1} +\ddot{x_2}) + k_1*(x_1+x_2)=0 \)
\( m*(\ddot{x_1} -\ddot{x_2}) + k_1(x_1-x_2)+2*k(x_1-x_2)=0 \)

daraus folgt

\( \ddot{x}_{1} =\frac{-k_{1} x_{1}}{m}-\frac{k_{1} x_{2}}{m}-\ddot{x}_{2} \quad \ddot{x}_{2} =\ddot{x}_{1}+\frac{k_{1}\left(x_{1}-x_{2}\right)+2 k_{2}\left(x_{1}-x_{2}\right)}{m} \)

Ich bin mir aber nicht sicher, ob das dem DGL System gleicht, welches in b) dargestellt ist

Anmerkung zu c) ich wollte es mit dem Charakteristischen Polynom versuchen, komme aber nicht weiter da ich mir sehr unsicher bei den NS bin. zudem habe ich 4 Lsgen erhalten. selbst wenn diese richtig sein sollten, weiß ich nichts mit 4 Lsgen anzufangen

Comments

um deine Dgl zu kontrollieren müsste man die Aufgabe kennen,

du kannst ja die Matrix ausmultiplizieren und daraus die Differenz und Summe ausrechnen-

zu d) setzt doch mal die Lösung ein! die Wurzel kommt durch das 2 malige Ableiten.

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

Lösung zu b) Herleitung des DGL Systems

Die Aufgabe verlangt, mit dem Newton'schen Gesetz zu zeigen, dass die Auslenkungen aus der Ruhelage durch ein bestimmtes Differentialgleichungssystem (DGL) beschrieben werden können. Betrachten wir zwei Massen \(m\) verbunden durch Federn mit Federkonstanten \(k_1\) und \(k_2\). Wir setzen voraus, dass die Massen nur in einer Richtung beweglich sind, wodurch dieses System in einer Dimension modelliert wird.

Für Masse 1:
- Die rückstellende Kraft aufgrund der ersten Feder ist \(k_1 \cdot x_1\), wenn wir die Verschiebung von der Ruhelage als \(x_1\) betrachten.
- Die zweite Feder, die Masse 1 und Masse 2 verbindet, übt eine Kraft aus, basierend auf der Differenz ihrer Auslenkungen: \(k_2 \cdot (x_2 - x_1)\).

Für Masse 2 ist die Herleitung analog, mit der Kraft durch die zweite Feder als \(k_2 \cdot (x_2 - x_1)\) und einer weiteren Feder (wenn vorhanden) analog zur ersten Masse.

Lassen Sie uns nun die Kräftegleichungen nach dem zweiten Newtonschen Gesetz (\(F = m \cdot a\)) aufstellen:

Für Masse 1:
\(F_1 = -k_1 \cdot x_1 - k_2 \cdot (x_1 - x_2)\)
Da \(F = m \cdot \ddot{x}\), haben wir
\(m \cdot \ddot{x_1} = -k_1 \cdot x_1 - k_2 \cdot (x_1 - x_2)\)

Für Masse 2 ist der Ansatz analog, was zu folgender Gleichung führt:
\(m \cdot \ddot{x_2} = -k_2 \cdot (x_2 - x_1)\)

Umformulierend und unter der Annahme, dass keine weiteren externen Kräfte wirken, erhalten wir die gegebenen Gleichungen für \(\ddot{x_1}(t)\) und \(\ddot{x_2}(t)\).

Lösung zu c) Bestimmung der Eigenwerte und -vektoren

Gegeben ist die Koeffizientenmatrix \(A =\begin{pmatrix} -\frac{k1+k2}{m} & \frac{k2}{m}\\ \frac{k2}{m} & -\frac{k1+k2}{m}\end{pmatrix}\).

Um die Eigenwerte \(\lambda\) zu finden, lösen wir die charakteristische Gleichung \(det(A - \lambda I) = 0\).
\(det\left(\begin{pmatrix} -\frac{k1+k2}{m} & \frac{k2}{m}\\ \frac{k2}{m} & -\frac{k1+k2}{m}\end{pmatrix} - \lambda \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\right) = 0\)

Das führt zu:
\(det\left(\begin{pmatrix} -\frac{k1+k2}{m}-\lambda & \frac{k2}{m}\\ \frac{k2}{m} & -\frac{k1+k2}{m}-\lambda \end{pmatrix}\right) = 0\)

\((-\frac{k1+k2}{m}-\lambda)^2 - (\frac{k2}{m})^2 = 0\)

Lösen Sie diese Gleichung nach \(\lambda\) ergibt die Eigenwerte. Nachdem die Eigenwerte gefunden sind, setzt man jeden Eigenwert in \(A - \lambda I\) ein und löst \( (A - \lambda I)v = 0\) um die zugehörigen Eigenvektoren \(v\) zu finden.

Lösung zu d) Verbindung von \(\alpha\) und \(\lambda\)

Die Lösung der Differentialgleichung verwendet die Tatsache, dass wenn \(\lambda\) ein Eigenwert der Koeffizientenmatrix ist, dann ist \(e^{\sqrt{\lambda}t}\) ein Teil der Lösung der Differentialgleichung. Das liegt daran, dass für lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten die allgemeine Lösung eine Kombination aus exponentiellen Funktionen der Form \(e^{\alpha t}\) ist, wobei \(\alpha\) eine Funktion der Eigenwerte ist. Indem wir \(\alpha = \sqrt{\lambda}\) setzen, nutzen wir die Eigenschaften der Differentialgleichungen und die Struktur der Lösungsmenge linearer Systeme. In diesem Kontext repräsentiert \(\lambda\) die "Geschwindigkeit" der Änderungsrate, und die Exponentialfunktionen geben die natürliche Antwort des Systems auf initiale Auslenkungen an, was zu Schwingungen führt.