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Bestimmung von \( \vec{\omega}^{\prime}(t) \) durch Integration der Euler-Gleichung
Für einen kräftefreien, symmetrischen Kreisel sind die Euler-Gleichungen im körperfesten Bezugssystem wie folgt gegeben:
\(
\Theta_{1}^{\prime}\frac{d\omega_{1}^{\prime}}{dt} - \left(\Theta_{2}^{\prime} - \Theta_{3}^{\prime}\right)\omega_{2}^{\prime}\omega_{3}^{\prime} = 0
\)
\(
\Theta_{2}^{\prime}\frac{d\omega_{2}^{\prime}}{dt} - \left(\Theta_{3}^{\prime} - \Theta_{1}^{\prime}\right)\omega_{3}^{\prime}\omega_{1}^{\prime} = 0
\)
\(
\Theta_{3}^{\prime}\frac{d\omega_{3}^{\prime}}{dt} - \left(\Theta_{1}^{\prime} - \Theta_{2}^{\prime}\right)\omega_{1}^{\prime}\omega_{2}^{\prime} = 0
\)
Da der Kreisel symmetrisch ist (\(\Theta_{1}^{\prime}=\Theta_{2}^{\prime} \neq \Theta_{3}^{\prime}\)) und die Anfangsbedingungen \( \omega_{1}^{\prime}(0), \omega_{2}^{\prime}(0)=0 \) sind, vereinfachen sich die Gleichungen zu:
\(
\frac{d\omega_{3}^{\prime}}{dt} = 0
\)
Diese Gleichung zeigt, dass \(\omega_{3}^{\prime}\) konstant ist, da seine zeitliche Änderung null ist. Mit der Anfangsbedingung \( \omega_{3}^{\prime}(0) \) ergibt sich:
\(
\omega_{3}^{\prime}(t) = \omega_{3}^{\prime}(0) = \text{konstant}
\)
Für die Komponenten \(\omega_{1}^{\prime}\) und \(\omega_{2}^{\prime}\), betrachten wir unter der Annahme von \(\Theta_{1}^{\prime}=\Theta_{2}^{\prime}\) und \(\omega_{2}^{\prime}(0)=0\) die vereinfachten Euler-Gleichungen. Da jedoch \(\omega_{1}^{\prime}\) und \(\omega_{2}^{\prime}\) initial Null bzw. nicht vorhanden sind und \(\omega_{3}^{\prime}\) eine konstante Bewegung ausführt, bleibt die Dynamik in den anderen Achsen ohne externen Einfluss konstant null (basierend auf den gegebenen Anfangsbedingungen und der Symmetrie des Kreisels).
Um jedoch \(\omega_{1}^{\prime}\) und \(\omega_{2}^{\prime}\) explizit zu diskutieren, wenn von minimalen Initialbewegungen ausgegangen wird, wäre eine Betrachtung über Stabilitätsbedingungen nötig, die aus den vollständigen Bewegungsgleichungen erwächst. Unter der Annahme, dass \(\omega_{1}^{\prime}(0)\) und \(\omega_{2}^{\prime}(0)\) klein, aber nicht zwangsläufig null sind, könnten kompliziertere dynamische Verhaltensmuster analysiert werden, die typischerweise Stabilitätsanalysen oder numerische Simulationen erfordern.
Bewegung im raumfesten System
Im raumfesten System bewegt sich ein kräftefreier, symmetrischer Kreisel so, dass der Drehimpulsvektor \( \vec{L} \) konstant bleibt. Da keine äußeren Kräfte wirken, folgt aus dem Drehimpulserhaltungssatz, dass die Projektion des Drehimpulses auf die Drehachse konstant bleibt. Der Kreisel führt eine Präzessionsbewegung um die raumfeste Drehimpulsachse aus, wobei die Eigendrehung (Rotation um seine eigene Achse) mit der initialen Winkelgeschwindigkeit \( \omega_{3}^{\prime}(0) \) beibehalten wird. Eine Nutation, eine periodische Schwankung der Kreiselachse, kann ebenfalls auftreten, wenn anfängliche Störungen in den \(\omega_{1}^{\prime}\) und \(\omega_{2}^{\prime}\) Komponenten vorhanden sind. Doch unter der Annahme, dass \(\omega_{1}^{\prime}\) und \(\omega_{2}^{\prime}\) initial null sind und nur \(\omega_{3}^{\prime}\) existiert, würde sich der Kreisel hauptsächlich um seine symmetrische Achse drehen, ohne eine komplexe Bewegung wie die Nutation auszuführen.
