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Dirac-Notation Erklärung
Um die gegebene Aufgabe zu lösen, nutzen wir die Dirac-Notation (auch als Bra-Ket-Notation bekannt), die in der Quantenmechanik häufig verwendet wird, um Quantenzustände und Operatoren zu beschreiben. Die Notation besteht aus "Bra"-Vektoren \( \langle \psi | \) und "Ket"-Vektoren \( | \phi \rangle \), wobei der Operator \( \mathcal{H} \) auf Ket-Vektoren wirkt und ein Skalarprodukt durch \( \langle \psi | \phi \rangle \) dargestellt wird. Das Kronecker-Delta \( \delta_{mn} \) ist definiert als \( 1 \), wenn \( m = n \) und \( 0 \), wenn \( m \neq n \).
Schrittweise Lösung
1. Anwenden des Hamilton-Operators
Der Hamilton-Operator \( \mathcal{H} \) wird spezifiziert als:
\( \mathcal{H} |n\rangle = \hbar \omega(n+1/2)|n\rangle \)
2. Berechnung von \( e^{-\beta \mathcal{H}} \)
Ein Schlüsselelement in dieser Aufgabe ist der Ausdruck \( e^{-\beta \mathcal{H}} \), der als Exponentialfunktion des Hamilton-Operators definiert ist. Dieser Ausdruck kann vereinfacht werden, indem man direkt den Operator auf die Zustände anwendet, wobei wir nutzen, dass:
\( e^{-\beta \mathcal{H}}|n\rangle = e^{-\beta \hbar \omega(n+1/2)}|n\rangle \)
Gegeben ist \( \beta \hbar \omega = 2/3 \), also:
\( e^{-\beta \mathcal{H}}|n\rangle = e^{-2/3(n+1/2)}|n\rangle \)
3. Berechnung des Ausdrucks
Nun setzen wir alles in den gegebenen Ausdruck ein:
\( \left(\langle 1| + \langle 3|\right) e^{-\beta \mathcal{H}}(|1\rangle + |3\rangle) \)
Das ergibt:
\( \left(\langle 1| + \langle 3|\right) \left(e^{-\beta \mathcal{H}}|1\rangle + e^{-\beta \mathcal{H}}|3\rangle\right) \)
\( = \left(\langle 1| + \langle 3|\right) \left(e^{-2/3(1+1/2)}|1\rangle + e^{-2/3(3+1/2)}|3\rangle\right) \)
\( = e^{-2/3(1+1/2)}\langle 1|1\rangle + e^{-2/3(1+1/2)}\langle 1|3\rangle + e^{-2/3(3+1/2)}\langle 3|1\rangle + e^{-2/3(3+1/2)}\langle 3|3\rangle \)
Da \( \langle m|n \rangle = \delta_{mn} \), eliminiert dies die Terme, in denen \( m \neq n \):
\( = e^{-2/3(1+1/2)} + e^{-2/3(3+1/2)} \)
\( = e^{-4/3} + e^{-8/3} \)
4. Endergebnis
Das Endergebnis der Berechnung ist also:
\( = e^{-4/3} + e^{-8/3} \)
Das verdeutlicht, wie man die Exponentialoperation auf den Zustand anwendet und wie die Orthogonalität der Zustände durch das Kronecker-Delta genutzt wird, um die Endberechnung zu vereinfachen.
