Die Stromstärke lässt sich mit zeitabhänigem ohmschen Widerstand beschreiben

Question

Ich soll die inhomogene Differentialgleichung dI/dt+I*cos(t)=2cos(t) in eine allgemeine Lösung umwandeln.

Leider habe ich keinen Plan, wie ich das anstelle. Also ich weiß schon, dass 0=dI/dt+I*cos(t) ist, aber mehr auch nicht.

Answer 1

$$ \frac{dI}{dt}+I\cdot \cos(t)=2 \,\cos(t) $$
homogenisieren
$$ \frac{dI}{dt}+I\cdot \cos(t)=0 $$
$$ \frac{dI}{dt}=-I\cdot \cos(t) $$
$$ \frac1I \cdot \frac{dI}{dt}=- \cos(t) $$
$$ \int\, \frac1I \cdot \frac{dI}{dt}\, dt=- \int \, \cos(t)\, dt $$
$$ \int\, \frac1I \,dI=- \int \, \cos(t)\, dt $$
$$ \ln \, (I)= \sin(t)\, +C^* $$
$$ e^{ \ln \, (I)}= e^{\sin(t)\, +C^*} $$
$$ I= e^{\sin(t)}\, \cdot e^{C^*} $$
$$ I=\, C \cdot  e^{\sin(t)} $$
soweit die homogene Lösung ...
ist nicht der optimale Weg dahin, aber anfängergeeignet.
Nun noch die partikuläre Lösung durch Variation der Konstanten ...
kannst du das oder brauchst du das auch nochmal in Kleinschritten gezeigt?

Comments

wäre super auch noch mal in kleinschritten zu sehen

unser matheprof ist nich der beste

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Ursprungsaufgabe:$$ \frac{dI}{dt}+I\cdot \cos(t)=2 \,\cos(t) $$homogene Lösung:
$$ I=\, C \cdot  e^{\sin(t)} $$um die partikuläre Lösung durch VdK zu bekommen, nimmt man an, die Konstante C sei nicht konstant, sondern variabel und zwar in Abhängigkeit von t. Also sieht der Ansatz dann so aus:$$ I=\, C(x) \cdot  e^{\sin(t)} $$in der Aufgabenstellung kommt aber auch noch die Ableitung von I vor, also muss die noch gebildet werden. Aaaber Aaachtung! C ist nun keine Konstante mehr, sondern eine Funktion , die von t abhängt und deswegen muss mit der Produktregel abgeleitet werden:$$ I'=\frac{dI}{dt}=\, C'(x) \cdot  e^{\sin(t)} +C(x) \cdot  e^{\sin(t)} \cdot \cos(t)$$für den Ehochsinus brauchts auch noch die Kettenregel - gemerkt ?  Nun das Zeug in die Ursprungsgleichung reinsetzen:$$  C'(x) \cdot  e^{\sin(t)} +C(x) \cdot  e^{\sin(t)} \cdot \cos(t)+\, C(x) \cdot  e^{\sin(t)}\cdot \cos(t)=2 \,\cos(t) $$

Entweder habe ich einen Vorzeichenfehler drin (schau mal selber) oder wir haben eben wieder eine nicht so einfache DGL vor uns ... schaumama

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Zumindest sind die x durch t zu ersetzen - habe ich zu spät gemerkt und nun kann ich nicht mehr editieren!

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einiges korrigiert:
Da ist das Minuszeichen verlorengegangen:
$$ \ln \, (I)= -\sin(t)\, +C^* $$
die korrekte homogene Lösung lautet also:$$I=-\, C \cdot  e^{\sin(t)}$$
und entsprechend ist die partikuläre zu korrigieren:
$$I=-\, C(t) \cdot  e^{\sin(t)}$$
$$\frac{dI}{dt}=- \,C′(t)⋅e^{\sin(t)}-C(t)⋅e^{\sin(t)}⋅(-1)\cos(t)$$
$$\frac{dI}{dt}=- \,C′(t)⋅e^{\sin(t)}+C(t)⋅e^{\sin(t)}⋅\cos(t)$$

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Einsetzen in die Ursprungsgleichung:
$$-\, C'(t) \cdot  e^{\sin(t)} +C(t) \cdot  e^{\sin(t)} \cdot \cos(t)-\, C(t) \cdot  e^{\sin(t)}\cdot \cos(t)=2 \,\cos(t)$$nun hebt sich was hinweg:
$$-\, C'(t) \cdot  e^{\sin(t)} =2 \,\cos(t)$$
$$\, C'(t)   =-\, 2 \,\frac{\cos(t)}{ e^{\sin(t)}}$$
$$\, C'(t)   =-\,2 \,\cos(t) \, \cdot \, e^{-\, \sin(t)}$$
$$\int \, C'(t) \, dt   =-\,2 \int \,\cos(t) \, \cdot \, e^{-\, \sin(t)}\, dt$$
$$ C(t)  =-\,2 \int \,\cos(t) \, \cdot \, e^{-\, \sin(t)}\, dt$$
hier überspringen wir mal die Details und kommen direkt zum Ergebnis:
$$ C(t)  =\,2  \, \cdot \, e^{-\, \sin(t)}$$
Das wäre nun die partikuläre
Lösung , welche zu der homogenen hinzuzuaddieren ist