Bewegung im Zentralpotential, Kepler Potential

Question

Aufgabe:

Betrachten Sie die Bewegung im Zentralpotential \( U(r)=-k / r^{n} \) mit reellen Konstanten \( k \) und \( n \).

a) Drücken Sie \( \dot{r}(t) \) und \( \ddot{r}(t) \) durch \( r(t) \) und die Erhaltungsgröben \( E \) und \( L^{2} \) aus, siehe Gl. (133) und (134) im Skript.

b) Berechnen Sie für Kreisbahnen die Bahngeschwindigkeit \( v=|\vec{v}| \) als Funktion des Bahnradius' \( r \). sind Kreisbahnen für alle Werte von \( k \) und \( n \) möglich? Plotten Sie \( v \) als Funktion von \( r \) für das Kepler-Potential \( (k>0 \) und \( n=1) \)

Hinweis \( z u(b): \) Kreisbahnen sind durch \( \dot{r}=0 \) und \( \ddot{r}=0 \) charaktersisiert.

Habt ihr bestimmte Ansätze, wie man das ausdrückt und diese Bahngeschwindigkeit bestimmt?



Skript:

Die zwei Erhaltungsgröfen \( E=E_{\mathrm{kin}}(t)+E_{\mathrm{pot}}(t) \) und \( L^{2}=|\vec{L}|^{2} \) nehmen also bei Bewegung in der \( x_{1}-x_{2}- \) Ebene in einem Zentralfeld die folgende Form an:

\( \begin{array}{c} E=\frac{m}{2}\left(\dot{r}(t)^{2}+r(t)^{2} \dot{\varphi}(t)^{2}\right)+U(r(t)) \\ L^{2}=m^{2} r(t)^{4} \dot{\varphi}(t)^{2} \end{array} \)

Wir werden sehen, dass diese beiden Erhaltungssätze ausreichen, um die Bewegungsgleichung zu integrieren.

Answer 1

Aus der Gleichung für die Energie $$ E = \frac{m}{2} \dot r^2 +U_{\text{eff}}(r) $$ mit $$ U_{\text{eff}}(r) = \frac{L^2}{2 m r^2} + U(r) $$ folgt $$ \dot r = \sqrt{ \frac {2}{m} \bigg[ E - U_{ \text{eff} }(r) \bigg]  } $$

Aus der Gleichung $$ m \ddot r = F(r) = -\frac{d}{dr} U_{\text{eff}}(r) = \frac{ L^2 }{ m r^3  } - \frac{d}{dr} U(r) \text{  folgt für }  \ddot r = 0 \\  \frac{n k}{r^{n+1}} = \frac{ L^2 }{ m r^3} \text{  mit  } U(r) = -\frac{k}{r^n} $$ und es gilt $$ \frac{d^2}{dr^2} U(r) = -\frac{ n ( n+1) k }{ r^{n+2}  } $$ Für die zweite Ableitung von \( U_{\text{eff}} \) gilt $$ \frac{d^2}{dr^2} U_{\text{eff}}(r) =  \frac{  3 L^2 }{ m r^4  } -\frac{ n ( n+1) k }{ r^{n+2}  } =  \frac{ nk(2-n) }{ r^{n+2} } $$

Eine stabile Kreisbahn liegt vor wenn \( U_{\text{eff}}(r) \) ein Minimum annimmt. Das ist der Fall wenn \( \frac{d}{dr} U_{\text{eff}}(r) = 0 \) gilt und wenn \( \frac{d^2}{dr^2} U_{\text{eff}}(r) > 0 \) gilt. Also muss \( n < 2 \) und \( k > 0 \) gelten.

Comments

Danke für die ausführliche Antwort!

Answer 2

Hallo

der Ansatz ist wie nimmt F=mr''(t) mit F als grad U

Gruß lul