Ellipse und Polarkoordinaten zeigen

Question

Aufgabe:

(a) Zeigen Sie, dass eine Ellipse, deren Mittelpunkt im Koordinatenursprung liegt, in Polarkoordinaten \( (r, \varphi) \) durch die Gleichung
\( r^{2}=\frac{\frac{2 a^{2} b^{2}}{a^{2}+b^{2}}}{1-\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}+b^{2}} \cos (2 \varphi)} \)
beschrieben wird. Hierbei bezeichnet \( a \) die grobe Halbachse und \( b \) die kleine Halbachse. Die Darstellung in kartesischen Koordinaten,
\( \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \)
ist als bekannt vorauszusetzen.
(b) Zeigen Sie, dass die Orbits bei der Bewegung im dreidimensionalen Oszillatorpotential
\( U(r)=\frac{k}{2} r^{2}, \quad k>0 \)
Ellipsen sind, deren Mittelpunkt im Koordinatenursprung liegt.
Hinweis zu (b): Bei der Integration der Orbitgleichung ist die Substitution \( r=u^{-1 / 2} \) hilfreich.

Kann mir jemand sagen, wie man das löst?

Answer 1

Mit \( x = r \cos\varphi \)  und \( y = \sin\varphi \)  folgt $$  r^2 = \frac{a^2 b^2}{a^2 \sin^2(\varphi) + b^2 \cos^2(\varphi) } $$

Jetzt

\( 1 + \cos( 2\varphi) = 2 \cos^2 \varphi \)

und

\( 1 - \cos( 2\varphi) = 2 \sin^2 \varphi \)

benutzen.

Comments

Vielen Dank!

Weißt du auch, wie man in b) zeigt, dass es sich um eine Ellipsenlaufbahn handelt?

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Gibts zu der Aufgabe noch ein paar mehr Details?

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Aus dem Potential ergibt sich die Kraft durch folgende Formel

\( \vec{F}(\vec{r}) = -\nabla U(\vec{r}) =  -k \vec{r} \) und daraus die Bewegungsgleichungen

$$ \vec{a} + \frac{k}{m} \vec{r} = 0 $$ Das sind die Gleichungen für einen harmonischen Oszillator. Die Lösungen lassen sich für jede Koordinate wie folgt schreiben

$$ x(t) = A \cos(\omega t + \varphi_1) $$ mit \( \omega = \sqrt{ \frac{k}{m} } \)

$$ y(t) = B \cos(\omega t + \varphi_2) $$ Die Größen \( A, B \) und \( \varphi_1 \text{ und } \varphi_2 \) bestimmen sich aus den Anfangsbedingungen.

Die Schwingungen stehen im rechten Winkel zueinander. In zwei Koordinaten ist das aber gerade die Paramterbeschreibung einer Ellipse.