Aufgabe:
(a) Untersuchen Sie, ob das Kraftfeld
\( \vec{F}^{\prime}(\vec{r})=F_{0}\left(\begin{array}{c} x_{1} / a \\ x_{1} x_{2} / b^{2} \\ 0 \end{array}\right) \)
konservativ ist. Hierbei ist \( F_{0} \) eine Konstante mit der Dimension einer Kraft und \( a \) und \( b \) sind Konstanten mit der Dimension einer Länge.
(b) Berechnen Sie die Arbeit, die in diesem Kraftfeld verrichtet wird, wenn ein Teilchen längs des Weges \( \mathcal{C}_{1} \) bzw. längs des Weges \( \mathcal{C}_{2} \) transportiert wird:
\( \mathcal{C}_{1}: \) Vom Ursprung \( \left(x_{1}=0, x_{2}=0, x_{3}=0\right) \) in gerader linie zum Punkt mit den Koordinaten \( \left(x_{1}=a, x_{2}=0, x_{3}=0\right), \) dann in gerader linie zum Punkt mit den
\( \text { Koordinaten }\left(x_{1}=a, x_{2}=b, x_{3}=0\right) \)
\( \mathcal{C}_{2}: \) Vom Ursprung \( \left(x_{1}=0, x_{2}=0, x_{3}=0\right) \) in gerader linie zum Punkt mit den Koordinaten \( \left(x_{1}=a, x_{2}=b, x_{3}=0\right) \)
Hinweis \( \mathrm{zu} \) (b): Eine gerade linie von \( \vec{r}_{1} \) nach \( \vec{r}_{2} \) lässt sich am einfachsten parametrisieren \( \operatorname{durch} \vec{r}(s)=\vec{r}_{1}+s\left(\vec{r}_{2}-\vec{r}_{1}\right) \) mit \( 0 \leq s \leq 1 \)
Problem/Ansatz: Bei dem Nachweis, ob es sich um ein konservatives Kraftfeld handelt, greift der Nabla Operator ein und man den Bezug finden zum zu einer orthonormalen Basis. Ich habe ab da aber leider keine Idee für eine Lösung dieser Aufgabe. Wäre sehr nett, falls jemand weiterhelfen kann.
LG
