Rennen durch und auf dem Kreis

Question

Aufgabe:

$$\text{Zwei Punkte beginnen im Punkt A eines Kreises (Radius r) gleichzeitig }$$

$$\text{Bewegungen von A nach B. Punkt 1 bewegt sich längs des }$$

$$\text{Durchmessers mit einer Beschleunigung proportional seiner}$$

$$\text{Geschwindigkeit (a=k*v). Seine Anfangsgeschwindigkeit in A ist v0 .}$$

$$\text{Punkt 2 bewegt sich längs des Kreisbogens mit der konstanten Winkelbeschleunigung:} \phi^{..}=\frac{\mathrm{d^2}}{\mathrm{dt^2}}*{\phi}$$

$$\text{Seine Anfangsgeschwindigkeit ist Null. Wie groß Muss} \phi^{..} \text{in Abhängigkeit von den gegebenen }$$

$$\text{Größen r,v0,k sein, wenn beide Punkte gleichzeitig in B ankommen sollen ?}$$

$$\text{Tipp: in dieser Aufgabe ist die Beschleunigung nicht konstant.}$$

 $$\text{Rechnen Sie daher mit} a=\frac{\mathrm{dv}}{\mathrm{dt}}=k*v$$

$$\text{und lösen sie diese Differentialgleichung durch Separation der Variablen.}$$

Problem/Ansatz:

Wenn ich die Differentialgleichung durch Separation der Variablen löse wie im Tipp beschrieben so teile ich Letzen Endes immer durch 0 z.B. $$k= \frac{ln(v)-ln(v_{0})}{t}$$ wobei sowohl t als auch v₀ Null sein könnten.

Über Hilfe würde ich mich sehr freuen.

Answer 1

Hallo

du sollst nicht k ausrechnen, sondern v(t) du hast ln(v)=k*t+c also v(t)=C*e^kt mit v(0)=v0 hat man C=v0

daraus kannst du dann s1(t) bestimmen auf dem Durchmesser , während  auf dem Bogen φ''=const=c also ω=c*t , φ=c/2*t^2, s2(t)=r*φ

es muss also φ(t)=π, und s1(t)=2r  damit sie gleichzeitig ankommen

Gruß lul