Aloha :)
Die Änderung der Temperatur \(\Delta T\) mit der Zeit \(\Delta t\) ist also nach Newton:$$\frac{\Delta T}{\Delta t}=\alpha(T_0-T)$$Für \(\Delta t\to0\) erhalten wir daraus eine Differentialgleichung:$$\frac{dT}{dt}=\alpha(T_0-T)$$Weil \(T_0=\text{const}\) ist ist \(\frac{dT_0}{dt}=0\) und wir können die DGL etwas umschreiben:$$0-\frac{dT}{dt}=-\alpha(T_0-T)$$$$\frac{dT_0}{dt}-\frac{dT}{dt}=-\alpha(T_0-T)$$$$\frac{d(T_0-T)}{dt}=-\alpha(T_0-T)$$$$\frac{1}{T_0-T}\,d(T_0-T)=-\alpha\,dt$$Integration beider Seiten liefert:$$\ln|T_0-T|=-\alpha\,t+c_0\quad;\quad c_0=\text{const}$$$$T_0-T=e^{-\alpha\,t+c_0}=\underbrace{e^{c_0}}_{=:c_1}\cdot e^{-\alpha\,t}=c_1\,e^{-\alpha\,t}\quad;\quad c_1=\text{const}$$$$\underline{T=T_0-c_1\,e^{-\alpha\,t}}$$Der Aufgabenstellung entnehmen wir:$$T_0=-5$$ und halten das erstmal fest:$$T=-5-c_1\,e^{-\alpha\,t}$$Weiter folgt aus der Aufgabenstellung \(T(0)=20\):$$20=T(0)=-5-c_1\,e^{-\alpha\cdot0}=-5-c_1\quad\Rightarrow\quad c_1=-25$$Wir halten das fest:$$T=-5+25\,e^{-\alpha\,t}$$Schließlich wissen wir noch \(T(15)=5\). Das liefert uns \(\alpha\):$$5=T(15)=-5+25\,e^{-\alpha\cdot15}$$$$10=25\,e^{-\alpha\cdot15}$$$$\frac{10}{25}=e^{-\alpha\cdot15}$$$$\ln\left(\frac{10}{25}\right)=-\alpha\cdot15$$$$\alpha=-\frac{1}{15}\ln\left(\frac{10}{25}\right)\approx0,0611$$Der Abkühlvorgang wird daher beschrieben durch:$$\underline{T=-5+25\,e^{-0,0611\,t}}$$Nach welcher Zeit \(t\) sind wir bei \(T=0\) angekommen?$$T=-5+25\,e^{-0,0611\,t}\stackrel{!}{=}0$$$$25\,e^{-0,611\,t}=5$$$$e^{-0,611\,t}=\frac{1}{5}$$$$-0,611\,t=\ln(0,2)$$$$t=-\frac{\ln(0,2)}{0,0611}=26,34$$
