Weißbier/ Wärmelehre/Temperaturunterschied/ Differenzialgleichung

Question

Gegeben:

θ_W0=12 Celsius        Weissbier

θ_unendlich =32  Celsius        außentemp

Θ:=θ_unendlich-θ_W              (Τ _{Zeitkonstante} =10000 s)

dΘ (der unterschied des temperaturunterschieds?) delta theta?

Differentialgleichung:  dθ/dt +1/Zeitkonstante *θ=0    (ist das eine grundform?)

Aufgaben:

a)

zeigen sie das θ(t) = C₁ (Warum C1) *exp(-t/Zeitkonstante)    die allgemeine lösung der differentialgkleichung ist

b)

Bestimmen Sie die spezielle Lösung der Diff. Gleichung aius einer geeigneten Anfangsbedingung

c)

Welche Temp θ_W1 hat das Weißbier nach t1=45 min

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

a) Zeigen, dass \(\theta(t) = C_1 \cdot \exp(-t/\text{Zeitkonstante})\) die allgemeine Lösung der Differentialgleichung ist

Zunächst ist die gegebene Differentialgleichung \( \frac{d\theta}{dt} + \frac{1}{\text{Zeitkonstante}} \cdot \theta = 0 \).

Um zu zeigen, dass \(\theta(t) = C_1 \cdot \exp(-t/\text{Zeitkonstante})\) eine Lösung ist, müssen wir diese Funktion in die Differentialgleichung einsetzen und prüfen, ob die Gleichung erfüllt wird.

Differenziere \(\theta(t)\) bezüglich \(t\):
\( \frac{d\theta(t)}{dt} = \frac{d}{dt}[C_1 \cdot \exp(-t/\text{Zeitkonstante})] = C_1 \cdot \frac{d}{dt}[\exp(-t/\text{Zeitkonstante})] \)

Die Kettenregel anwenden:
\( = C_1 \cdot \exp(-t/\text{Zeitkonstante}) \cdot \frac{-1}{\text{Zeitkonstante}} = -\frac{C_1}{\text{Zeitkonstante}} \cdot \exp(-t/\text{Zeitkonstante}) \)

Ersetzen wir \(\frac{d\theta(t)}{dt}\) und \(\theta(t)\) in der Gleichung:
\( -\frac{C_1}{\text{Zeitkonstante}} \cdot \exp(-t/\text{Zeitkonstante}) + \frac{1}{\text{Zeitkonstante}} \cdot (C_1 \cdot \exp(-t/\text{Zeitkonstante})) = 0 \)

Es zeigt sich, dass beide Terme sich gegenseitig aufheben, was die Gleichung zu \(0 = 0\) macht, was bestätigt, dass \(\theta(t) = C_1 \cdot \exp(-t/\text{Zeitkonstante})\) tatsächlich eine allgemeine Lösung der Differentialgleichung ist.

b) Bestimmen Sie die spezielle Lösung der Diff. Gleichung aus einer geeigneten Anfangsbedingung

Gegeben ist \(\theta_{W0} = 12\) Celsius als Anfangstemperatur des Weißbiers und \( \theta_{\infty} = 32 \) Celsius als Außentemperatur.

\(\Theta := \theta_{\infty} - \theta_{W} = 32 - \theta_{W}\)

Die Anfangsbedingung bei \(t = 0\) ist \(\theta_W(0) = 12\) Celsius. Es gilt:
\( \theta(0) = C_1 \cdot \exp(0) = C_1 \)

Wir wollen \(C_1\) so bestimmen, dass:
\( 32 - 12 = 20 = C_1 \)

Damit wird die spezielle Lösung der Differentialgleichung:
\( \theta(t) = 20 \cdot \exp(-t/10000) \)

c) Welche Temp \(\theta_{W1}\) hat das Weißbier nach \(t_1=45\) min

Umrechnung von Minuten in Sekunden: \(t_1 = 45 \text{ min} = 45 \cdot 60 \text{ s} = 2700 \text{ s}\).

Einsetzen von \(t_1\) in die spezielle Lösung:
\( \theta_{W1} = 20 \cdot \exp(-2700/10000) + 12 \)
Berechnung des Ausdrucks:
\( \theta_{W1} = 20 \cdot \exp(-0.27) + 12 \approx 20 \cdot 0.763 + 12 \approx 15.26 + 12 = 27.26 \)

Die Temperatur des Weißbiers nach 45 Minuten beträgt ungefähr \(27.26\) Celsius.