Gravitationsfeld und Schwarzschildradius

Question

Aufgabe: Aloha :)

Diese Aufgabe wird schon gefragt, aber nur die erste Teil.Ich brauche Hilfe für die andere zwei Teile.

Vielen Dank Im Voraus.

Gravitationsfeld und Schwarzschildradius:  ↦:vektor

Ein kugelsymmetrischer Planet oder Stern der Masse M, dessen Mittelpunkt sich im Ursprung des
Koordinatensystems befindet, übt auf eine punktförmige Testmasse m am Ort ↦r eine Kraft

↦F_G(↦r) = (−GmM/ r³ )·↦r

aus, wobei G ≈ 6.67 · 10⁻¹¹ m³/kgs² die Newtonsche Gravitationskonstante ist. Der Betrag des Ortsvektors ↦r = (x, y, z)^T ist r = √x²+y²+z².

1,

Zeigen Sie, dass es sich um ein konservatives Kraftfeld handelt. Dazu können Sie etwa zeigen, dass es Skalarfeld φ gibt, sodass ↦F_G = −∇φ .Hinweis: Versuchen Sie es mit V (↦r) = −GmM/r

Lösung: φ(r)=-G·(mM/r)

2,

Um die Testmasse von der Oberfläche des Planeten (Radius R) zu einem Ort mit Radialkoordinate r* zu bewegen, muss die Arbeit

W =_R∫^r*↦F(↦r)·d↦r =−(_R∫^r*)^↦F_G(↦r) · d↦r =_R∫^r*(GmM/r²)dr

verrichtet werden, da die auf die Masse ausgeübte Kraft die Gravitationskraft kompensieren muss,
d.h. ↦F (↦r) = −F_G(↦r). Berechnen Sie die Anfangsgeschwindigkeit v₀, mit der die Masse von der
Oberfläche des Planeten weggeschleudert werden muss, um den Abstand r* vom Mittelpunkt des
Planeten zu erreichen.
Hinweis: Setzen Sie dazu die anfängliche kinetische Energie der Testmasse gleich dem obigen Integral.

3,

Bilden Sie im erhaltenen Ausdruck für die Anfangsgeschwindigkeit den Limes r*→ ∞, um die
sogenannte Fluchtgeschwindigkeit zu ermitteln, die für ein Teilchen erforderlich ist, um einen Stern
der Masse M und mit Radius R, ausgehend von seiner Oberfläche, für immer zu verlassen. Da sich
nun aber nichts schneller als mit Lichtgeschwindigkeit bewegen kann, sollte von einem Stern, dessen
Fluchtgeschwindigkeit größer als die Lichtgeschwindigkeit ist, nichts mehr, nicht einmal mehr Licht
entweichen können. Setzen Sie im Ausdruck für die Fluchtgeschwindigkeit v₀ = c und lösen Sie die
Gleichung nach dem Radius des Sterns auf. Das Resultat ist der sogenannte Schwarzschildradius.
Berechnen Sie diesen für die Sonne (Masse M ≈ 2·10³⁰kg, Radius R ≈ 700000km).

Comments

Aufgabe 1 findest du bereits hier:

https://www.mathelounge.de/767594/zeigen-sie-dass-es-sich-ein-konservatives-kraftfeld-handelt

Answer 1

Aloha :)

1) Den ersten Teil der Aufgabe hatte ich bereits einem anderen Fragesteller beantwortet:

https://www.mathelounge.de/767594/zeigen-sie-dass-es-sich-ein-konservatives-kraftfeld-handelt

Dort wurde gezeigt, dass:$$\vec F_G=-\operatorname{grad}\varphi(r)\quad;\quad\varphi(r)=-G\,\frac{mM}{r}$$

2) Wir setzen die kinetische Energie gleich der potentiellen Energie.

$$\frac{1}{2}mv^2=-\int\limits_R^{r^\ast}\,\vec F_G(\vec r)\,d\vec r=\int\limits_R^{r^\ast}\frac{\partial \varphi(r)}{\partial\vec r}\,d\vec r=\int\limits_R^{r^\ast}d\varphi(r)=\left[-G\,\frac{mM}{r}\right]_R^{r^\ast}=GmM\left(\frac{1}{R}-\frac{1}{r^\ast}\right)$$$$v=\sqrt{2GM\left(\frac{1}{R}-\frac{1}{r^\ast}\right)}$$

3) Die Fluchtgeschwindigkeit ins Unendliche beträgt daher:$$v_\infty=\lim\limits_{r^\ast\to\infty}\sqrt{2GM\left(\frac{1}{R}-\frac{1}{r^\ast}\right)}=\sqrt{\frac{2GM}{R}}$$Zur Bestimmung des Schwarzschild-Radius \(R_s\) setzen wir die maximal mögliche Geschwindigkeit \(v_\infty=c\) ein:$$c=\sqrt{\frac{2GM}{R}}\quad\Rightarrow\quad c^2=\frac{2GM}{R_s}\quad\Rightarrow\quad R_s=\frac{2GM}{c^2}$$

Für unsere Sonne \(M\approx2\cdot10^{30}\,\mathrm{kg}\) und \(R\approx700\,000\,\mathrm{km}=7\cdot10^{8}\,\mathrm m\) erhalten wir:

$$R_s=\frac{2\cdot6,67\cdot10^{-11}\,\frac{\mathrm m^3}{\mathrm{kg}\,\mathrm s^2}\cdot2\cdot10^{30}\mathrm{kg}}{\left(3\cdot10^8\,\frac{\mathrm m}{\mathrm s}\right)^2}\approx2\,964\,\mathrm m$$