Antwort mit KI erzeugt
Lösung der Aufgabe
Die Annahme, dass das Drehmoment am inneren Zylinder null sein muss, damit dieser in Ruhe bleibt, ist nicht korrekt. Vielmehr muss ein Drehmoment auf den inneren Zylinder wirken, das genau das Drehmoment ausgleicht, welches durch die Scherspannungen der rotierenden Flüssigkeit im Spalt auf diesen Zylinder ausgeübt wird. Dadurch bleibt der innere Zylinder trotz der Bewegung der Flüssigkeit in Ruhe.
Rechnung und verwendetes Prinzip
Für die Berechnung des notwendigen Drehmoments nutzen wir das Prinzip der Scherströmung, hier in Form der Couette-Strömung zwischen zwei koaxialen Zylindern. Unter der Annahme, dass \(s \ll R\), können wir die Strömung als annähernd ebene Scherströmung behandeln. Die Schubspannung \(\tau\) in einer Newton'schen Flüssigkeit wird durch das Gesetz von Newton für viskose Flüssigkeiten gegeben:
\(
\tau = -\eta \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}r}
\)
Dabei ist \(\eta\) die dynamische Viskosität der Flüssigkeit, \(\mathrm{d}u/\mathrm{d}r\) der Geschwindigkeitsgradient senkrecht zur Strömungsrichtung. Für die gegebene Konfiguration, bei der der innere Zylinder in Ruhe ist (\(u(r = R) = 0\)) und der äußere Zylinder sich mit einer Winkelgeschwindigkeit \(\omega\) dreht, ist der Geschwindigkeitsgradient über den Spalt konstant.
Die Schubspannung kann auch durch die Gleichung \(\tau = \eta \omega / s\) ausgedrückt werden, wobei \(s\) die Spaltbreite ist. Dies ergibt sich aus der linearen Geschwindigkeitsverteilung in einer Couette-Strömung.
Das Drehmoment \(M\) ist das Produkt aus der Schubspannung \(\tau\), der Oberfläche \(A\) des inneren Zylinders, auf den die Schubspannung wirkt, und dem Radius \(R\), an dem die Kraft angreift:
\(
M = \tau \cdot A \cdot R
\)
Die Oberfläche \(A\) des Zylinders ist gegeben durch \(A = 2 \pi R H\), wobei \(H\) die Höhe des Zylinders ist.
Setzen wir nun die gegebenen Werte ein:
- Radius \(R = 0,05 \, \text{m}\)
- Spaltbreite \(s = 0,002 \, \text{m}\) (2 mm in Meter)
- Höhe \(H = 0,2 \, \text{m}\)
- Winkelgeschwindigkeit \(\omega = \pi / 2\)
- Dynamische Viskosität \(\eta = 0,005 \, \text{Pa} \cdot \text{s}\)
Schubspannung:
\(
\tau = \eta \frac{\omega}{s} = 0,005 \cdot \frac{\pi / 2}{0,002} = \frac{0,005 \cdot \pi}{0,002 \cdot 2} = \frac{0,005 \cdot \pi}{0,004} = \frac{5 \cdot \pi}{4} \, \text{Pa}
\)
Drehmoment:
\(
M = \tau \cdot 2 \pi R H \cdot R = \frac{5 \cdot \pi}{4} \cdot 2 \pi \cdot 0,05 \cdot 0,2 \cdot 0,05 = \frac{5 \pi^2}{4} \cdot 0,0005 \cdot 0,2 = \frac{5 \cdot \pi^2}{4} \cdot 0,0001 \, \text{Nm}
\)
Berechnung:
\(
M = \frac{5 \cdot \pi^2}{4} \cdot 0,0001 = 0,001225 \cdot \pi^2 \approx 0,00383 \, \text{Nm}
\)
Das notwendige Drehmoment, welches am inneren Zylinder angewendet werden muss, damit dieser in Ruhe bleibt, beträgt somit ungefähr \(0,00383 \, \text{Nm}\) (Newtonmeter).
