Archimedisches Prinzip. Aufgabe Stein im Boot

Question

Hallo :)

Aufgabe:

Ich habe ein Boot und in diesem Boot ist ein Stein. Das Boot schwimmt auf dem Wasser. Wenn ich nun den Stein in das Wasser schmeiße sinkt der Wasserspiegel, da der Stein im Boot mehr Wasser verdrängt. Dies wollte ich mir auch nochmal anhand von einer Gleichung klar machen, was aber leider nicht funktioniert hat.

Problem/Ansatz:

Für schwimmende Objekte muss die Auftriebskraft gleich der Gewichtskraft sein.

F_A= F_G

ρ_wasser *V_boot*g = (m_boot + m_stein) *g

ρ_wasser *V_boot =  ρ_boot *V_boot +  ρ_stein *V_stein

und für den Fall das der Stein im Wasser untergeht:

F_A < F_G

ρ_wasser * V_{stein *}g _< ρ_stein * V_stein * g

ρ_wasser < ρ_stein

Aber wie sehe ich jetzt anhand dieser Formeln, dass der Stein im Boot mehr Wasser verdrängt. Oder aus welchen anderen Gleichungen komme ich auf diesen Schluss?

Answer 1

Hallo Unicorn,

Deine erste Gleichung ist korrekt. Bei der zweiten bin ich mir schon unschlüssig, was dann \(V_{\text{boot}}\) genau sein soll. Ob das das Volumen des verdrängten Wassers mit oder ohne Stein ist.

Ich schlage folgendes Vorgehen vor: Das Volumen \(V_W\) des durch Boot und ggf. durch den Stein verdrängten Wassers ist

$$ \begin{aligned} V_{W 1}&= \frac{(m_{\text{Boot}} + m_{\text{Stein}})g}{\rho_{\text{Wasser}} } \quad && \text{Stein im Boot} \\  V_{W2} &= \frac{m_{\text{Boot}} \cdot g}{\rho_{\text{Wasser}} } +  V_{\text{Stein}}  && \text{Stein im Wasser} \end{aligned} $$

Also ist die Differenz des verdrängten Wassers \(\Delta V_{W}\) (vorher zu nachher)

$$ \begin{aligned} \Delta V_{W} &= V_{W1} - V_{W2} = \frac{m_{\text{Stein}} \cdot g}{\rho_{\text{Wasser}} } - V_{\text{Stein}} \\&=  \frac{m_{\text{Stein}} \cdot g}{\rho_{\text{Wasser}} } - \frac{m_{\text{Stein}} \cdot g}{\rho_{\text{Stein}}} \\&= m_{\text{Stein}} \cdot g \left( \frac 1{\rho_{\text{Wasser}}} - \frac 1{\rho_{\text{Stein}}} \right) \end{aligned}$$

Da \(\rho_{\text{Stein}} \gt \rho_{\text{Wasser}}\) ist der Ausdruck positiv. Heißt, dass vorher mehr Wasser verdrängt wurde als später als der Stein im Wasser liegt.

Comments

Vielen Dank für deine Antwort! :D

So wie du es aufgeschrieben hast verstehe ich es endlich. :)  Außer das g in der Gleichung ergibt für mich nicht wirklich Sinn.

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Außer das g in der Gleichung ergibt für mich nicht wirklich Sinn.

Das \(g\) (die Erdbeschleunigung) ist notwendig, wenn \(\rho\) jeweils das spezifische Gewicht ist. Sollte \(\rho\) die spezifische Masse sein, so muss es weggelassen werden.

Da Du bei Deinem Ansatz das \(g\) mit drin hast, ging ich auch vom spezifischen Gewicht aus.

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Okay jetzt bin ich verwirrt. Für mich war ρ die jeweilige Dichte.

Wenn ich doch jetzt schreibe m*g bekomme ich doch die Gewichtskraft raus. Wie passt das dann mit den Einheiten zusammen?

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Für mich war ρ die jeweilige Dichte.

Dichte und spezifische Masse ist das gleiche und hat die Einheit $$\rho \, \left[ \frac{\text{kg}}{\text m^3}\right]$$dann musst Du das \(g\) weg lassen.

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Alles klar, danke :)