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Berechnung des Druckverlustes
Die Berechnung des Druckverlustes \(\Delta P\) in einem Rohr kann durch die Darcy-Weisbach-Gleichung erfolgen:
\(
\Delta P = f \cdot \left( \frac{L}{D} \right) \cdot \rho \cdot \frac{v^2}{2}
\)
wobei:
- \(f\) der Darcy-Weisbach-Reibungskoeffizient ist,
- \(L\) die Länge des Rohres (1500m),
- \(D\) der Durchmesser des Rohres (0.25m),
- \(\rho\) die Dichte der Flüssigkeit (für Wasser annähernd 1000kg/m³ anzunehmen),
- \(v\) die Geschwindigkeit der Flüssigkeit ist.
Die Geschwindigkeit \(v\) kann aus dem Volumenstrom \(Q\) berechnet werden:
\(
v = \frac{Q}{A}
\)
mit \(A = \frac{\pi D^2}{4}\) als Querschnittsfläche des Rohres und \(Q = 60l/s = 0.06m^3/s\). Damit ist:
\(
A = \frac{\pi \cdot (0.25)^2}{4} = 0.0491m^2
\)
und daher
\(
v = \frac{0.06}{0.0491} \approx 1.22m/s
\)
Der Darcy-Weisbach-Reibungskoeffizient \(f\) hängt von der Reynolds-Zahl und der Rohrrauigkeit ab. In vielen praktischen Anwendungen wird er geschätzt oder aus Diagrammen abgelesen. Bei Wassernutzung und angenommen glatten Bedingungen kann \(f\) etwa zwischen 0.02 und 0.04 liegen. Mangels spezifischer Angaben verwenden wir \(f = 0.03\) als Annahme.
Darauf basierend ist der Druckverlust:
\(
\Delta P = 0.03 \cdot \frac{1500}{0.25} \cdot 1000 \cdot \frac{1.22^2}{2} \approx 6630Pa = 6.63kPa
\)
Berechnung der benötigten Leistung des Elektromotors
Die Leistung \(P\), die benötigt wird, um den Volumenstrom gegen diesen Druckverlust zu fördern, ergibt sich aus:
\(
P = \frac{\Delta P \cdot Q}{\eta_{gesamt}}
\)
wobei \(\eta_{gesamt}\) der Gesamtwirkungsgrad des Systems ist. Dieser berechnet sich aus dem elektrischen Wirkungsgrad (\(89\%\)) und dem Verlust an der Pumpe (\(15\%\)), das bedeutet, der Pumpenwirkungsgrad beträgt \(85\%\) oder 0.85.
Der Gesamtwirkungsgrad ist daher:
\(
\eta_{gesamt} = 0.89 \cdot 0.85 = 0.7565
\)
Die benötigte Leistung \(P\) ist dann:
\(
P = \frac{6630 \cdot 0.06}{0.7565} \approx 525.77W
\)
Um die Frage nach der Elektromotorleistung zu beantworten:
Ein Elektromotor müsste etwa \(525.77W\) Leistung liefern, unter Berücksichtigung der gegebenen Wirkungsgrade, um den benötigten Volumenstrom aufrechtzuerhalten und den Druckverlust zu überwinden.
