Wurfbahn im Gravitationsfeld

Question

Servus!

Hierbei handelt es sich nicht wirklich um eine HÜ oder dergleichen sondern das Problem interessiert mich einfach sehr.

Ein überdimensional starkes Katapult wirft ein Objekt von der Erde in den Weltraum, sodass es wieder zurück fliegt. Wie lässt sich nun eine Funktion der Höhe aufstellen?

Die standard Wurffunktion lautet:

\(r(t)=r_0+v_0\cdot sin(\alpha)t-\frac{1}{2}gt^2\)

Da sich g aber mit der Höhe ändert, handelt es sich hier auch um eine Funktion \(g(r)=G\cdot \frac{M_e}{r^2}\), wobei \(G \) die Gravitationskonstante ist.

Aber wie "baut" man jetzt eine solche Funktion in die Formel ein, wenn sie genau vom Ergebnis abhängig ist?

Vielen Dank!

Answer 1

Du kannst einfach dein g als Funktion mal in deine Funktion r einsetzen und nach r auflösen.

Kleiner Spoiler: Das ist eklige Rechnerei. Setze \(b:=v_0\cdot \sin(\alpha) \). Dann hat man zunächst: \(r= -\frac{1}{2}\cdot G\cdot \frac{M_e}{r^2}\cdot t^2+b\cdot t+r_0 \\ \Leftrightarrow  \quad r^3=-\frac{1}{2}\cdot G\cdot M_e\cdot t^2+r^2\cdot b\cdot t+r^2\cdot r_0\\ \Leftrightarrow 0=r^3+\frac{1}{2}\cdot G\cdot M_e\cdot t^2-r^2\cdot b\cdot t-r^2\cdot r_0\\\quad =r^3-(b\cdot t+r_0)\cdot r^2+\frac{1}{2}\cdot G\cdot M_e\cdot t^2=:P(r)\)

Man hat nun ein Polynom dritten Grades. Das lässt sich noch mit den sogenannten cardanischen Formeln lösen. Das ist zwar theoretisch ganz hübsch, für den Computer aber eher nicht so toll, da bei diesen Wurzelausdrücken und bei den großen Werten (Masse der Erde) erhebliche Rundungsfehler entstehen werden. Daher wäre es sogar sinnvoller diese Gleichung numerisch zu lösen. Du gibst für die Zeit t eine Schrittweite vor und bestimmst numerisch r, was du dem Computer überlassen kannst. So bekommst du eine Liste von Punkten zurück, die dir die Wurfbahn näherungsweise repräsentieren.