Antwort mit KI erzeugt
Um diese Frage systematisch zu beantworten, gehen wir Schritt für Schritt vor.
a) Berechnung der Fourierdarstellung
Zunächst betrachten wir die Basis einer Sinusschwingung mit der Gleichung \(U(t) = \hat{U} \sin(\omega t)\), wobei \(\hat{U}\) der Spitzenwert der Spannung und \(\omega = 2\pi f\) die Kreisfrequenz ist. Bei einer Spannung von 325 V und einer Frequenz von 50 Hz ist der Spitzenwert \(\hat{U} = 325V\), da \(325V\) bereits als Spitzenwert vorgegeben ist (normalerweise wäre dies der Effektivwert, aber wir gehen von einer Spitzenwertangabe aus).
Die Anschnittsteuerung führt zu einer Verzerrung dieser Sinuswelle, indem ein Teil der Welle abgeschnitten wird. Bei einem Anschnitt von 4ms und einer Frequenz von 50Hz (Periodendauer 20ms) bedeutet dies, dass ein Teil der Sinuswelle ab dem Zeitpunkt 4ms bis zum nächsten Nulldurchgang "eingeschaltet" wird.
Um die Fourierdarstellung zu berechnen, verwenden wir die Fourier-Reihe für nicht-sinusförmige, periodische Funktionen. Die Grundfrequenz ist \(f = 50Hz\), und wir benötigen die Darstellung bis zur 3. Harmonischen (\(3 \cdot 50Hz = 150Hz\)).
Die Fourier-Koeffizienten berechnet man normalerweise mit:
- \(a_0\), der Durchschnittswert über eine Periode, oft 0 bei symmetrischen Funktionen um die Zeitachse.
- \(a_n\), der Koeffizient für die Kosinus-Komponenten.
- \(b_n\), der Koeffizient für die Sinus-Komponenten.
Für ein Signale, das für einen Teil der Periode "aus" ist, müssen diese Koeffizienten über die entsprechenden Integrale für den Abschnitt berechnet werden, in dem das Signal "an" ist, und dann gemittelte über die gesamte Periodendauer.
Für eine detaillierte Berechnung benötigt man die genaue Funktion des angeschnittenen Signals. Da wir ein vereinfachtes Beispiel haben, skizzieren wir den allgemeinen Ansatz für \(b_n\) für eine Sinusfunktion, deren Anschnitt bei \(t = 4ms\) beginnt:
\(
b_n = \frac{2}{T}\int_{\text{4ms}}^{\text{20ms}} \hat{U} \sin(n\omega t) \sin(\omega t) dt
\)
wobei \(T = \frac{1}{f}\) die Periodendauer ist, hier 20ms. Für \(n=1, 3\) könnten wir damit die Koeffizienten spezifisch berechnen. Beachten Sie, dass wegen Symmetrie und der Auswahl hier \(a_n\)-Terme typischerweise 0 sein werden für reine Sinus-Funktionen, was oft der Fall bei der Analyse von Leistungselektronik wie Phasenanschnittsteuerungen ist.
b) Skizze der Fourier-Reihe
Um die Fourier-Reihe in einer Skizze darzustellen, würde man normalerweise eine Überlagerung der Grundwelle (50 Hz) und der signifikanten Harmonischen (hier bis zur 3. Harmonischen, also 150Hz) zeichnen. Die Amplitude jeder Harmonischen wäre dabei durch die berechneten \(b_n\) gegeben.
c) Der Klirrfaktor als Balkendiagramm
Der Klirrfaktor dient der Bewertung der Qualität von Wechselstromsignalen und ist definiert als das Verhältnis des Effektivwerts der Oberwellen zum Gesamteffektivwert des Signals. Der Klirrfaktor kann für jede Harmonische einzeln oder als Gesamtwert berechnet werden.
Um ein Balkendiagramm der Klirrfaktoren der Harmonischen zu erstellen, würden Sie zunächst die Effektivwerte \(V_{n}\) jeder Harmonische bis zur 7. Harmonischen berechnen. Da die Effektivwerte proportional zu den Amplituden sind, kann man den Klirrfaktor \(K\) für die \(n\)-te Harmonische näherungsweise berechnen als:
\(
K_n = \frac{V_n}{V_{Gesamt}}
\)
wobei \(V_{Gesamt}\) der Effektivwert des gesamten Signals ist. Für jede Harmonische (1., 3., 5., 7. usw.) stellen Sie dann den entsprechenden Klirrfaktor als Balken dar, dessen Höhe das Verhältnis des jeweiligen Harmonischen zum Gesamtwert angibt.
Beachten Sie, dass für eine konkrete Berechnung und Darstellung alle benötigten Effektivwerte der jeweiligen Harmonischen sowie des Gesamtsignals genau berechnet werden müssen, basierend auf den oben besprochenen \(b_n\)-Koeffizienten.
