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Steighöhe berechnen (Kapillarität)
Um zu berechnen, wie hoch das Wasser in der Kapillarröhre steigt, verwenden wir die angegebene Formel:
\(
h = \frac{2\sigma}{r \rho g}
\)
Die Kapillare verändert ihren Radius linear von \(r_1 = 0\) mm bis \(r_2 = 2,0\) mm. Der Ansatz einer Integralrechnung erscheint zunächst plausibel, weil wir über eine Veränderung des Radius entlang der Länge der Kapillare nachdenken. Jedoch führt dieser Ansatz nicht direkt zu einer Lösung, da die unmittelbare Anwendung der Formel auf ein Integral tatsächlich einheitenmäßig nicht passt. Stattdessen sollten wir erkennen, dass diese Formel uns die Höhe gibt, in der die Oberflächenspannung das Gewicht der Wassersäule in einem infinitesimal kleinen Abschnitt der Kapillare ausgleicht.
Da \(r\) von 0 bis 2,0 mm variiert, wäre es angemessener, einen durchschnittlichen Radius für die Berechnung der durchschnittlichen Steighöhe zu verwenden, anstelle eines Integrals über den Radius \(r\). Der durchschnittliche Radius, \(r_{\text{avg}}\), für eine linear variierende Größe von \(r_1\) bis \(r_2\) ist einfach das Mittel dieser Werte. Jedoch, das direkte Anwenden dieser Logik auf unsere Problemstellung führt zu einer missverständlichen Interpretation davon, wie die Kapillarkraft in nicht-uniformen Röhren wirkt.
Ein wichtiger Faktor hier ist, dass für \(r_1 = 0\), die Kapillarkraft theoretisch eine unendlich hohe Wassersäule unterstützen könnte, was in der Realität nicht möglich ist. Die Problemstellung und das Modell implizieren nicht direkt, wie man mit diesem unphysikalischen Ergebnis umgehen sollte.
Für die gegebene Aufgabe, unter der Annahme, dass man dennoch eine mittlere Steigung über die Länge der Kapillare bestimmen möchte, muss sorgfältig überlegt werden, wie die Eigenschaften der Kapillare über ihre Länge hinweg interagieren. Die eigentliche Lösung der Aufgabe sollte erkennen, dass die maximale Steighöhe des Wassers dort bestimmt wird, wo der Radius der Kapillare am kleinsten ist – in der Nähe von \(r_1\), da hier die Kapillarkraft am stärksten ist.
Die komplizierte, tatsächliche Berechnungsmethode wäre, die Beziehung zwischen der Höhe der Wassersäule und dem variierenden Radius entlang der Kapillare genau zu modellieren, was ein tieferes Verständnis der Kapillareffekte und möglicherweise avanciertere mathematische Methoden erfordert, als sie in der Aufgabenstellung nahegelegt werden.
Eine vereinfachte Abschätzung unter Verwendung des Mittelwertes des Radius für die gesamte Kapillare führt zu einem Verständnisfehler des physikalischen Prinzips hinter der Kapillarwirkung, da die Steighöhe nicht linear mit dem Radius variiert, sondern umgekehrt proportional dazu ist. Daher muss klargestellt werden, dass ein adäquaterer Ansatz zur Lösung dieses spezifischen Problems nicht einfach durch eine direkte Anwendung der vorgeschlagenen Mittelwertbildung oder Integration erreicht werden kann.
Es bleibt dabei, dass eine exakte Lösung des Problems, wie es hier formuliert ist, ohne eine genauere Beschreibung, wie der Radius entlang der Kapillare variiert (über die simple Linearität hinaus) und wie diese Variation die Kapillarkraft beeinflusst, nicht eindeutig gegeben werden kann.
