Winkel α damit Kiste stehen bleibt?

Question

Aufgabe:

Eine Kiste (Punktmasse m_k) liegt auf einem Eisenbahnwagen, der aus einer Platte(Masse m_p) und 2 Radsätzen besteht. JederRadsatz besteht aus zwei Rädern (homogeneVollscheiben, Masse je Vollscheibe m_r, Radius R), die durch eine masselose Achse verbunden sind. Für die Coulombsche Reibung zwischen Kiste und Platte ist der Reibungswinkel tan(ρ) = 10 . Die Verhältnisse der Massen sind m_p : m_k : m_r = 3 : 2 : 1.

Wie groß darf der Winkel α einer schiefen Ebene höchstens sein, wenn die Kiste auf dem herunterrollenden Wagen liegen bleiben soll?

tan(α) ≤ ...

Ansatz/Problem:

Ich habe Reibungskräfte und Normalenkräfte.

Das ist die Lösung und wie kommt man drauf?

\( \tan \alpha \leq \frac{\left(m_{p}+m_{k}+6 m_{r}\right) \tan \rho}{2 m_{r}} \)

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

Erklärung:

Um zu verstehen, wie die gegebene Lösung \(\tan \alpha \leq \frac{(m_{p} + m_{k} + 6m_{r}) \tan \rho}{2m_{r}}\) abgeleitet wird, müssen wir die Kräfte betrachten, die auf die verschiedenen Komponenten des Systems (Kiste, Plattform und Radsätze) wirken, während der Eisenbahnwagen eine schiefe Ebene mit einem Winkel \(\alpha\) hinunterrollt.

Schritt 1: Verhältnis der Massen

Gegeben sind die Verhältnisse der Massen: \(m_{p} : m_{k} : m_{r} = 3 : 2 : 1\). Damit können wir die Massen relativ zueinander ausdrücken, aber für die Berechnung des maximalen Winkels \(\alpha\), bei dem die Kiste noch auf der Platte liegen bleibt, benötigen wir die tatsächlichen Massenwerte nicht, da diese sich kürzen werden.

Schritt 2: Verständnis der Reibung und Normalenkräfte

Die Normalkraft, die auf die Kiste wirkt, hängt von der Gravitationskraft (senkrecht zur Oberfläche der schiefen Ebene) und dem Gewicht der Kiste selbst ab. Die Reibungskraft, die verhindert, dass die Kiste rutscht, ist das Produkt aus der Normalkraft und dem Reibungskoeffizienten, ausgedrückt durch den Reibungswinkel \(\rho\), wobei \(\tan(\rho) = 10\).

Schritt 3: Berechnung der Bedingung für \(\tan \alpha\)

Wenn der Eisenbahnwagen die schiefe Ebene hinunterrollt, müssen wir sicherstellen, dass die nach unten gerichtete Komponente der Gravitationskraft \(m_{k}g\sin(\alpha)\) kleiner oder gleich der maximalen Reibungskraft \(m_{k}g\cos(\alpha) \tan(\rho)\) ist. Hierbei ist \(g\) die Erdbeschleunigung.

Das Problem bei der gegebenen Lösung scheint jedoch etwas komplexer zu sein und bezieht die Trägheitsmomente der Räder ein (indiziert durch die \(6m_{r}\) im Zähler), was auf die Rollbewegung hinweist. Die Berechnung setzt wahrscheinlich ein detaillierteres Modell der Kräfte voraus, einschließlich der Trägheitsmomente der Räder beim Rollen, was über grundlegende Reibungs- und Normalenkräfte hinausgeht.

Allerdings scheint die Lösungsformel \(\tan \alpha \leq \frac{(m_{p} + m_{k} + 6m_{r}) \tan \rho}{2m_{r}}\) die Reibungskräfte, die Rollbedingungen der Räder und das Verhältnis der Massen zu integrieren, um eine Bedingung für \(\tan(\alpha)\) aufzustellen, die erfüllt sein muss, damit die Kiste nicht rutscht.

Ohne die vollständige Ableitung, die spezifische Bewegungsgleichungen und das Kräftegleichgewicht für das System aus Plattform, Rädern und Kiste einbezieht, insbesondere wie die Rollbewegung der Räder und ihre Trägheitsmomente berücksichtigt werden, ist es schwierig, die präzisen Schritte zur Erreichung der exakten Lösungsformel nachzuvollziehen.

Im Allgemeinen basiert die Lösung jedoch darauf, dass das Verhältnis der tangentialen Komponente der Gewichtskraft, die den Körper nach unten zieht, zur maximalen Reibungskraft, die dem entgegenwirkt, den Reibungswinkel \(\rho\) und somit ein sicherer Zustand erreicht wird, indem diese Bedingung für \(\tan(\alpha)\) nicht überschritten wird.