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Prozentualer Ausstoß der Gesamtmasse
Basierend auf der Raketengrundgleichung:
\(v_1 = v_{\text{rel}} \times \ln\left(\frac{M_0}{M_1}\right) - g \times \tau\)
wobei:
- \(v_1 = 4000\, \text{m/s}\) (Endgeschwindigkeit)
- \(v_{\text{rel}} = 5000\, \text{m/s}\) (Ausströmgeschwindigkeit der Verbrennungsgase)
- \(M_0 = 6000\, \text{kg}\) (Startmasse)
- \(g = 9.00\, \text{m/s}^2\) (Schwerkraft)
- \(\tau = 120\, \text{s}\) (Brenndauer)
Da \(v_0 = 0\) (die Rakete startet aus dem Stillstand), wurde schon berechnet, dass die Endmasse \(M_1 = 2172.24 \, \text{kg}\) beträgt. Der prozentuale Anteil der ausgestoßenen Masse von der Gesamtmasse beträgt demnach \(63.796\%\).
Berechnung der maximalen Beschleunigung
Um die maximale Beschleunigung zu berechnen, müssen wir den Moment betrachten, bei dem der Massenausstoß die größte Wirkung hat, was typischerweise beim Start der Fall ist, wenn die Masse \(M_0\) maximal ist. Die Auswirkung des Massenausstoßes ist direkt nach dem Start am größten, da die Beschleunigung durch die ausgestoßene Masse, minus die Wirkung der Schwerkraft, gegeben ist. Es gilt:
\(a = \frac{F}{m} = \frac{\text{Schub} - \text{Gewicht}}{m}\)
Der Schub (\(F_{\text{Schub}}\)) kann durch die Ausstoßrate der Masse (\(dm/dt\)) und die Ausströmgeschwindigkeit (\(v_{\text{rel}}\)) ausgedrückt werden:
\(F_{\text{Schub}} = -\left(\frac{dm}{dt}\right) \cdot v_{\text{rel}}\)
Das negative Vorzeichen resultiert aus der Tatsache, dass die Masse abnimmt. Um die Ausstoßrate der Masse \(\frac{dm}{dt}\) zu berechnen, betrachten wir die Veränderung der Masse über die Brenndauer:
\(\frac{dm}{dt} = \frac{M_0 - M_1}{\tau}\)
Angesetzt und die Zahlenwerte eingesetzt ergibt:
\(\frac{dm}{dt} = \frac{6000 - 2172.24}{120} \approx 31.85\, \text{kg/s}\)
Dies in die Gleichung für den Schub einsetzend:
\(F_{\text{Schub}} = -31.85\, \text{kg/s} \times 5000\, \text{m/s} = -159250\, \text{N}\)
Die Gewichtskraft am Anfang ist:
\(F_{\text{Gewicht}} = M_0 \cdot g = 6000\, \text{kg} \cdot 9\, \text{m/s}^2 = 54000\, \text{N}\)
Die Netto-Beschleunigung am Start ist somit:
\(a = \frac{F_{\text{Schub}} - F_{\text{Gewicht}}}{M_0} = \frac{-159250\, \text{N} - 54000\, \text{N}}{6000\, \text{kg}}\)
\(a = \frac{-213250\, \text{N}}{6000\, \text{kg}} \approx -35.54\, \text{m/s}^2\)
Da dieser Wert die kombinierte Wirkung des Schubs und der Schwerkraft repräsentiert, ist die tatsächliche Beschleunigung, die entgegen der Schwerkraft wirkt (also die Beschleunigung, die die Rakete nach oben bringt), die Differenz zwischen diesem Wert und dem Wert der Schwerkraft:
\(a_{\text{Netto}} = -35.54\, \text{m/s}^2 + 9\, \text{m/s}^2 \approx -26.54\, \text{m/s}^2\)
Das negative Vorzeichen deutet auf die Richtung der Beschleunigung hin (nach oben, entgegengesetzt zur Gravitationskraft). Für die Berechnung der maximalen Beschleunigung werden allerdings Beträge betrachtet, somit ist die maximale Beschleunigung:
\(|a_{\text{max}}| = 26.54\, \text{m/s}^2\)
Diese Berechnung macht deutlich, dass die Beschleunigung direkt nach dem Start, wenn die Masse der Rakete ihr Maximum hat, am größten ist.
