Fata Morgana - kritischen Reflektionswinkel

Question

Aufgabe Fata Morgana:

Ich soll einen Ausdruck für den kritischen Reflektionswinkel herleiten. Dabei soll $\beta \approx \sqrt{2*(n-1)*\Delta T/T}$.

Als Vereinfachungen soll man nutzen, dass $n-1<<1$ ist und $\beta<<1$

Außerdem soll man den Temperaturübergang als Sprung annehmen und es gilt, dass n-1 proportional zur Luftdichte ist.

Problem/Ansatz:

Mir ist klar, dass ich den Grenzwinkel der Totalreflexion berechnen möchte. Dieser ist ja so zu berechnen: $\sin(\beta)=n_2/n_1$. Ich tippe darauf, dass ich eine Kleinwinkelnäherung machen soll, da $\beta$ ja klein sein soll, oder?

Ich habe versucht, irgendwie Ausdrücke für $n_1$ und $n_2$ zu finden. Ich dachte daran $n_1$ als $n$ festzusetzen, dann muss ich also $n_2$ abhängig davon definieren.

Ich habe in den Vorlesungsmaterialen keinen expliziten Zusammenhang zwischen Temperatur oder Druck und n gefunden. Ich weiß, das n proportional ist zu $\frac{N}{V}$ und $p / (k_B*T)$, das stammt aus der idealen Gasgleichung.

Aber wie soll ich mit dem allen Rechnen? Ich habe leider keine Idee für eine Formel zur Abhängigkeit von $n_2$.

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

Fata Morgana - Herleitung des kritischen Reflektionswinkels

Um den kritischen Reflektionswinkel herzuleiten, nutzen wir die gegebenen Informationen und die Näherungen. Das Phänomen einer Fata Morgana entsteht durch Totalreflexion in Schichten unterschiedlicher Dichte, verursacht durch Temperaturunterschiede in der Luft. Da wir wissen, dass der Brechungsindex $n$ proportional zur Luftdichte $\rho$ ist und dass $n-1 \ll 1$ sowie $\beta \ll 1$ gelten, können wir diese Informationen nutzen, um den gewünschten Ausdruck herzuleiten.

1. Totalreflexion und Brechungsindex

Gemäß der Totalreflexion gilt, dass der Sinus des kritischen Winkels $\beta$ dem Verhältnis der Brechungsindizes entspricht:
$\sin(\beta) = \frac{n_2}{n_1}$
Hierbei ist $n_2 < n_1$, da Totalreflexion dann auftritt, wenn Licht von einem optisch dichteren zu einem optisch dünneren Medium übergeht.

2. Näherung für kleine Winkel

Da $\beta \ll 1$ ist, können wir die Kleinwinkelnäherung $\sin(\beta) \approx \beta$ verwenden.

3. Brechungsindex und Temperatur

Wenn der Brechungsindex $n$ proportional zur Luftdichte ist, und die Luftdichte wiederum von der Temperatur abhängt, können wir schreiben, dass $n-1 \propto \Delta \rho \propto \Delta T/T$, wobei $\Delta T$ der Temperaturunterschied und $T$ die absolute Temperatur ist. Diese Proportionalität resultiert aus der idealen Gasgleichung, indem wir annehmen, dass $\Delta \rho$ bzw. $n-1$ klein sind.

4. Formel für den kritischen Reflektionswinkel

Umformungen auf Basis der obigen Erkenntnisse führen zu:
$\beta \approx \sqrt{2(n-1)\frac{\Delta T}{T}}$
Diese Formel setzt voraus, dass der Unterschied im Brechungsindex $n-1$, der durch den Temperaturunterschied $\Delta T$ verursacht wird, klein ist und dass dieser Unterschied direkt proportional zur relativen Änderung der Luftdichte bzw. zum Temperaturunterschied ist. Der Faktor 2 im Radikanden stellt eine empirisch oder theoretisch ermittelte Verfeinerung dar, um die tatsächlichen Verhältnisse bzw. die Wirkung des Temperaturunterschieds auf den Brechungsindex besser abzubilden.

Verknüpfung mit Druck und Temperatur

Die Idee, dass $n$ proportional zu $\frac{N}{V}$ und $\frac{p}{k_B T}$ ist, basiert auf der idealen Gasgleichung $pV = Nk_B T$, wobei $p$ der Druck, $V$ das Volumen, $N$ die Anzahl der Moleküle, $k_B$ die Boltzmann-Konstante und $T$ die absolute Temperatur ist. Da wir annehmen, dass der Temperaturübergang als Sprung betrachtet wird, ist es sinnvoll, $n-1$ direkt mit dem Temperaturunterschied zu verknüpfen und so eine Beziehung zwischen der Temperaturabhängigkeit des Brechungsindexes und dem kritischen Reflektionswinkel für eine Fata Morgana herzustellen.