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Fata Morgana - Herleitung des kritischen Reflektionswinkels
Um den kritischen Reflektionswinkel herzuleiten, nutzen wir die gegebenen Informationen und die Näherungen. Das Phänomen einer Fata Morgana entsteht durch Totalreflexion in Schichten unterschiedlicher Dichte, verursacht durch Temperaturunterschiede in der Luft. Da wir wissen, dass der Brechungsindex \( n \) proportional zur Luftdichte \( \rho \) ist und dass \( n-1 \ll 1 \) sowie \( \beta \ll 1 \) gelten, können wir diese Informationen nutzen, um den gewünschten Ausdruck herzuleiten.
1.
Totalreflexion und Brechungsindex
Gemäß der Totalreflexion gilt, dass der Sinus des kritischen Winkels \( \beta \) dem Verhältnis der Brechungsindizes entspricht:
\( \sin(\beta) = \frac{n_2}{n_1} \)
Hierbei ist \( n_2 < n_1 \), da Totalreflexion dann auftritt, wenn Licht von einem optisch dichteren zu einem optisch dünneren Medium übergeht.
2.
Näherung für kleine Winkel
Da \( \beta \ll 1 \) ist, können wir die Kleinwinkelnäherung \( \sin(\beta) \approx \beta \) verwenden.
3.
Brechungsindex und Temperatur
Wenn der Brechungsindex \( n \) proportional zur Luftdichte ist, und die Luftdichte wiederum von der Temperatur abhängt, können wir schreiben, dass \( n-1 \propto \Delta \rho \propto \Delta T/T \), wobei \( \Delta T \) der Temperaturunterschied und \( T \) die absolute Temperatur ist. Diese Proportionalität resultiert aus der idealen Gasgleichung, indem wir annehmen, dass \( \Delta \rho \) bzw. \( n-1 \) klein sind.
4.
Formel für den kritischen Reflektionswinkel
Umformungen auf Basis der obigen Erkenntnisse führen zu:
\( \beta \approx \sqrt{2(n-1)\frac{\Delta T}{T}} \)
Diese Formel setzt voraus, dass der Unterschied im Brechungsindex \( n-1 \), der durch den Temperaturunterschied \( \Delta T \) verursacht wird, klein ist und dass dieser Unterschied direkt proportional zur relativen Änderung der Luftdichte bzw. zum Temperaturunterschied ist. Der Faktor 2 im Radikanden stellt eine empirisch oder theoretisch ermittelte Verfeinerung dar, um die tatsächlichen Verhältnisse bzw. die Wirkung des Temperaturunterschieds auf den Brechungsindex besser abzubilden.
Verknüpfung mit Druck und Temperatur
Die Idee, dass \( n \) proportional zu \( \frac{N}{V} \) und \( \frac{p}{k_B T} \) ist, basiert auf der idealen Gasgleichung \( pV = Nk_B T \), wobei \( p \) der Druck, \( V \) das Volumen, \( N \) die Anzahl der Moleküle, \( k_B \) die Boltzmann-Konstante und \( T \) die absolute Temperatur ist. Da wir annehmen, dass der Temperaturübergang als Sprung betrachtet wird, ist es sinnvoll, \( n-1 \) direkt mit dem Temperaturunterschied zu verknüpfen und so eine Beziehung zwischen der Temperaturabhängigkeit des Brechungsindexes und dem kritischen Reflektionswinkel für eine Fata Morgana herzustellen.
