Spatprodukt = 0 von Vektoren, deren komponenten ich nicht kenne.

Question

Bild:



Aufgabe:

Explodierende Kokosnuss

Ein Knallkörper explodiert in einer ruhenden Kokosnussschale der Masse \(M.\) Diese Zerbricht in drei Stücke, wie im Bild dargestellt. Die Schalenteile gleiten reibungslos auseinander.

a) Zeigen Sie, dass die Impulse (und damit auch die Geschwindigkeiten) der drei Stücke in einer Ebene liegen. 
Hinweis: Zeigen Sie, dass das Spatprodukte der drei Vektoren Null ist. 

b) Das Stück \(C\) habe eine Masse von \(m_C = 0.3 M\) und eine Endgeschwindigkeit von \(v_C= 5.0 \frac{m}{s}.\) das Stück \(B\) eine Masse von \(m_B = 0.2 M.\) Bestimmen Sie die Geschwindigkeit der Teile \(A\) und \(B.\)

Problem/Ansatz:

Frage:
Wie kann ich zeigen, dass das Spatprodukt = 0 ist wenn ich keine x,y,z-Achse habe ? 

1. Idee:
Ich kann mit einem Taschenrechner aus den Winkeln herausfinden wie deren Koordinaten sein müssen und dann das Spatprodukt ausrechnen. 

2. Idee: 
Ich könnte einfach allgemeine Komponenten definieren. Zum Beispiel der Körper A: \(r_A = (x_A, y_A , z_A ).\) 
Wenn ich das aber so mache, wie kriege ich es hin, dass das Spatprodukt = 0 ist ?

Answer 1

Hallo,

aufgrund der Impulserhaltung müssen die drei Impulse in einer Ebene liegen. Um das zu zeigen, brauchst du keine konkreten Werte.

Impulserhaltung:

$$p_a+p_b+p_c =0 \Longleftrightarrow p_c=-(p_a+p_b)$$

Damit folgt für das Spatprodukt:

$$p_a (p_b \times p_c)=p_a(p_b \times -(p_a+p_b))=-p_a(p_b \times p_a + p_b \times p_b)=-p_a(p_b \times p_a + 0)=0$$

Comments

Danke, 

Rückfrage:

(1) Diesen Satz verstehe ich nicht richtig: 
"aufrgund der Impulserhaltung müssen die drei Impulse in einer Ebene liegen," 

wenn ich mir im Geiste Vorselle, dass eine Kokosnuss explodiert, explodiert sie tatsächlich in einem Raum aber angenommen die Teile wären Massenpunkte, dann lässt sich immer eine Ebene  E  im dreidimensionalen Raum beschreiben, durch die drei Massenpunkte gehen. Ist es das was du meinst ? 


(2) Zu: \(p_{a}+p_{b}+p_{c}=0 \Longleftrightarrow p_{c}=-\left(p_{a}+p_{b}\right)\)
Wie bist du auf die rechte Seite gekommen ? Hast du \(p_c\) aus einem bestimmten Grund ausgewählt ?

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(1) Da keine Angaben zum Knallkörper gegeben sind, kann man der Einfachheit halber

davon ausgehen, dass die Explosion im inneren isotrop verläuft, also in alle Richtungen gleich stark drückt.

Damit ist Impulserhaltung gewährleistet ( vor der Explosion ist die Kokosnuss in Ruhe, daher der Gesamtimpuls =0 )

wenn ich mir im Geiste Vorselle, dass eine Kokosnuss explodiert, explodiert sie tatsächlich in einem Raum aber angenommen die Teile wären Massenpunkte, dann lässt sich immer eine Ebene  E  im dreidimensionalen Raum beschreiben, durch die drei Massenpunkte gehen. Ist es das was du meinst ?

Das ist richtig ( zumindest wenn vorgegeben ist, in wie viele Teile die Kokosnuss zerbricht).

(2) Ich habe nach p_c umgestellt, da p_c im Kreuzprodukt bereits auftritt. Du kannst aber die Gleichung auch nach p_a oder p_b umstellen und diese dann im Spatprodukt ersetzen, am Ergebnis ändert dies nichts.