Arbeit und Höhe einer Rakete durch Luftdruck

Question

Aufgabe:

Eine Spielzeugrakete der Masse m=0.1 kg wird per Luftdruck aus einem Rohr mit Innendurchmesser D=2 cm gestartet. Vor dem Loslassen im Rohr beträgt der Druck der komprimierten Luft p₁=5 bar, beim verlassen des Rohres beträgt der Druck im Rohr p₂=2 bar. Der Außendruck sei p_a=1 bar (Adiabatenexponent k=1,4). Der Beschleunigungsweg im Rohr sei l=1 m.

Fragestellung:

a) Wie viel Arbeit wird an der Rakete während der Expransion der Luft verrichtet? Berücksichtigen Sie die Arbeit gegen den Außendruck während der Beschleunigungsphase!

b) Wie hoch steigt die Rakete?

Problem/Ansatz:

Meine Idee war die Arbeit über die Formel (Arbeit isentop) $$ W=\frac{p_2V_2 - p_1V_1}{\kappa -1} $$ zu berechnen. Allerdings kenne ich weder V₁ noch V₂, nur ΔV.

Comments

 du kennst den Weg, also die Rohrlänge auf der der Druck von 5 auf 2 bar abnimmt, daraus kann man das Volumen bestimmen

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Ich weiß nur wie ich damit ΔV berechne. Zum start habe ich ja ein Volumen unter der Rakete welches unbekannt ist, also V1. Und V2 wäre dann V1 + ΔV.

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 wie berechnest du ΔV?

 deine Formel hab ich mir angesehen, was du mit "isentop" meinst versteh ich nicht, da es schnell geht , ist die Temperatur wohl konstant, d.h. es gilt V1*p1=V2*p2 was du ausrechnest ist dann 0.

mal dir mal das Rohr mit Querschnitt A auf, auf A*1m vermindert sich der Druck um 3 bar. wenn du A hast, kannst du die Kraft F=( p(s)-p0)*A auf die Rakete ausrechnen und dann die Arbeit als  Integral F ds

p nimmt linear mit s ab. (s der weg der Rakete im Rohr )

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

Arbeit an der Rakete während der Expansion der Luft

Um die Arbeit zu berechnen, die an der Rakete während der Expansion der Luft verrichtet wird, einschließlich der Arbeit gegen den Außendruck, können wir tatsächlich eine ähnliche Formel wie die von dir vorgeschlagene nutzen, müssen aber den Prozess etwas anders angehen, da wir \(V_1\) und \(V_2\) nicht direkt kennen.

Die Formel, die du erwähnt hast, ist für eine isentrope (adiabatische und reversible) Expansion gedacht, wobei \(\kappa\) (oder auf Deutsch \(\kappa\)) der Adiabatenexponent ist. Die allgemeine Formel für die Arbeit bei einer adiabatischen (isentropen) Expansion oder Kompression lautet jedoch:

\(W = \frac{p_1V_1 - p_2V_2}{\kappa - 1}\)

wobei \(p_1V_1\) und \(p_2V_2\) die Zustände des Gases zu Beginn und am Ende des Prozesses sind.

Da wir \(V_1\) und \(V_2\) nicht direkt kennen, betrachten wir stattdessen die Luft als ideal und nutzen die Tatsache, dass \(pV = nRT\), wobei \(n\) die Molmenge, \(R\) die universelle Gaskonstante und \(T\) die Temperatur ist. Allerdings reicht diese Information allein nicht aus, da wir auch weder \(n\) noch \(T\) direkt kennen.

Also verwenden wir den gegebenen Umfang des Problems: Der Anfangs- und Enddruck der Luft im Rohr und der Außendruck. Die Arbeit, die an der Rakete geleistet wird, enthält zwei Komponenten: die Expansion der Luft im Rohr und die gegen den Atmosphärendruck geleistete Arbeit.

(a) Arbeit während der Expansion

Für eine exaktere Berechnung können wir den tatsächlichen Weg mit den gegebenen Daten nicht genau bestimmen, ohne Annahmen zu machen, weil uns wichtige Informationen fehlen, z.B. das Volumen der Luft im Rohr zu Beginn und am Ende der Expansion.

Es ist jedoch möglich, durch die Kenntnis des Durchmessers und der Länge des Rohrs das Volumen (\(V\)) der Luft im Rohr zu berechnen und dann eine vereinfachte Berechnung durchzuführen.

Ein vereinfachter Ansatz wäre, die Differenz im Druck mit dem Volumen der Luft in Beziehung zu setzen, um eine Schätzung der Arbeit gegen den Außendruck zu berechnen, indem wir \(W = F \cdot d = p \cdot A \cdot d\) verwenden, wobei \(A\) die Querschnittsfläche und \(d\) die Entfernung ist.

Lassen wir die genauere Berechnung der Arbeit basierend auf der Expansion gemäß der ursprünglichen Formel beiseite, da wir nicht genügend Informationen für eine direkte Anwendung haben, und konzentrieren wir uns auf die Arbeit gegen den Atmosphärendruck.

Die gegen den Atmosphärendruck geleistete Arbeit wäre dann:
\(W_{\text{atm}} = (p_1 - p_{\text{a}}) \cdot V - (p_2 - p_{\text{a}}) \cdot V\)

Wobei \(V = \frac{\pi D^2}{4} \cdot l\), \(p_a = 1 \cdot 10^5\) Pa (Umrechnung von bar in Pascal), \(p_1 = 5 \cdot 10^5\) Pa und \(p_2 = 2 \cdot 10^5\) Pa.

(b) Höhe der Rakete

Die maximale Höhe, die die Rakete erreichen kann, wird durch die Gleichsetzung der verrichteten Arbeit mit der potenziellen Energie am höchsten Punkt erreicht, wo \(W = mgh\), vorausgesetzt, dass sämtliche Arbeit in potenzielle Energie umgewandelt wird.

\(h = \frac{W}{mg}\)

Da die erste Berechnung unvollständig ist, können wir ohne die korrekte Berechnung der Arbeit \(W\) nicht direkt zur Höhe \(h\) übergehen. Die Höhe hängt von der tatsächlich an der Rakete verrichteten Arbeit ab, die wir ohne die Volumina \(V_1\) und \(V_2\) oder eine genauere Vorstellung der Zustandsänderungen nicht genau bestimmen können.

Um diese Frage vollständig zu beantworten, bräuchten wir weitere Details oder müssten weitere Annahmen über den Zustand und die Eigenschaften der Luft im Rohr machen, wie z.B. Annahmen über die Temperaturen oder die spezifische Gasmenge, die beteiligt ist.