Freier Fall im Raum - Wieso ist v_max = sqrt(2h*g)?

Question

Aufgabe:

Das Problem betrifft vor Allem den unteren Teil "Maximale Geschwindigkeit \(v_{max}\) auf meinem Blatt unten. 

Im oberen Teil sehe ich ein, dass \(t_{Freifall} = \frac{\sqrt{2h}}{\sqrt{g}} \) ist, denn der Ortsvektor wird genau dann in all seinen Komponenten = 0. 

Maximale Geschwindigket:
Den Geschwindigkeitsvektor bekomme ich, wenn ich r(t) ein mal ableite. 

Frage(1): 
Was muss ich nun tun um die maximale Geschwindigkeit zu bekommen. (Ableiten??)
Ich habe nur eine einzige \(v_{z} = -g*t \) Komponente. 

Meine Idee: 
Ich muss eigentlich nur sagen, dass es die Geschwindigkeit für \(h=0\) anzeigen soll, ich habe aber keine \(h,\)
aber ich weiss zu welcher Zeit das der Fall ist, also setze ich die Zeit ein und sofern meine Ableitung korrekt ist, 
bekomme ich : 

$$ \vec{v}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -g*t \end{pmatrix} $$

Wenn ich aber hier meine FAllzeit einsetze bekomme ich nicht wie im Buch steht
\(\sqrt{2h*g}.\)


Frage(2):
Wie komme ich auf diese Lösung für v_max? 


Mein Blatt:

Answer 1

Hallo

 du willst ja die Maximalgeschwindigkeit in Abhängigkeit von der Höhe h, Am einfachsten mit dem Energiesatz mgh=m/2*v^2 nach v aufgelöst - aus den Bewegungsgleichungen mit h statt z

v=-g*t=z'=h'   daraus h=g/2t^2 , t(h)=√(2h/g) in v(h) eingesetzt : v=-g*√(2h/g)=√(2h*g)

eigentlich hattest du schon alles und nur die richtige Fallzeit nicht in v eingesetzt.

(aber immer wenn nur nach v und nicht t gefragt ist ist der Energiesatz schneller.)

Gruß lul