Herleitung der Formel F_(R) = *Die Wurzel aus* F12+F22+2*F1*F2*cos(Alpha) zu "Dynamik - Kraft"?

Question

Einen wunderschönen guten Abend!

Ich komme leider hier nicht weiter und würde mich freuen, wenn mir jemand weiterhelfen könnte. Ich habe versucht durch die Skizze und anderen Formeln es herzuleiten, nichtsdestotrotz kam ich immer auf die falschen Ergebnisse.

Diese Formel ist aus dem Thema: ''Dynamik - Kraft'': F_R = *Die Wurzel aus* F₁²+F₂²+2*F₁*F₂*cos(Alpha)

Vielen lieben Dank im Voraus.

MFG

Comments

Könnte mit dem Kosinussatz zusammenhängen. Dann müsste aber das zweite + ein - sein.

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müsste aber das zweite + ein - sein

Das " + " - Zeichen ist völlig in Ordnung.

Answer 1

Bei Vektoren gilt Skalarprodukt a*a = |a|² 

Im Folgenden Vektoren fett und Beträge nicht. 

FR² = (F1 + F2)*(F1 + F2)          | * Skalarprodukt

= F1 * F1 + F2*F1 + F1*F2 + F2² 

= F1² + 2*(F1*F2) + F2²         | Def. von Skalarprodukt  (Zwischenwinkel Alpha)

= F1² + 2*F1*F1*cos(Alpha) + F2²

Nun noch rechts und links die Wurzel ziehen.

Comments

Vielen lieben Dank für die ausführliche Herleitung dieser Formel, leider haben wir noch keine Vektorrechnung in Mathematik behandelt, deshalb fiel es mir ziemlich schwer die Formel aus Physik Unterricht abzuleiten. :-)

Answer 2

Es gilt der Kosinussatz. Allerdings hast du den Winkel gegeben den die Vektoren einschließen, wenn sie als Ortsvektoren gezeichnet werden. Man hängt sie ja aber bei der Vektoraddidion hintereinander und dann schließen sie den Winkel 180 - γ ein. Und nun gilt

c² = a² + b² - 2 * a * b * COS(180 - γ)

c² = a² + b² - 2 * a * b * (- COS(γ))

c² = a² + b² + 2 * a * b * COS(γ)

Das liegt also nur daran, dass wir mit dem Nebenwinkel rechnen.