Selbstinduktion im RL-Kreis

Question

Aufgabe:

Sie haben einen Stromkreis bestehend aus Spannungsquelle (konstante Spannung U₀), Widerstand R und Spule (konstante Induktivität L). Alle Bauteile sind in Reihe geschaltet. Sobald Sie die Spannungsquelle einschalten, beginnt sich in der Spule ein Magnetfeld aufzubauen. Das Induktionsgesetz besagt nun, dass ein sich aufbauendes Magnetfeld in einer Spule eine Induktionsspannung erzeugt. Dies führt dazu, dass das von der Spule aufgebaute Magnetfeld in derselben Spule eine Gegenspannung U_ind induziert. Diese ist entgegen der Spannungsquelle gerichtet, weshalb im Stromkreis nicht sofort die maximal mögliche Stromstärke I₀=U₀/R fließt. Stattdessen ändert sich diese, beginnend mit I(t=0s)=0 beim Einschalten bis hin zu I(t→∞)=I₀. Der Maximalwert wird erreicht, sobald das Magnetfeld der Spule voll aufgebaut ist und sich nicht mehr ändert.

a) Zeigen Sie unter Ausnutzung der Definition der Induktivität (Φ_B=L*I) und des Induktionsgesetzes, dass die Induktionsspannung in Abhängigkeit der Änderung der Stromstärke I^•=dI/dt ausgedrückt werden kann durch U_ind=-LI^•

b) Die Maschenregel für den beschriebenen Stromkreis besagt, dass für t>0 die Gleichung U₀=U_R-U_ind erfüllt sein muss, wobei U_R die über den Widerstand gemessen Spannung sein muss. Zeigen Sie durch einmaliges Differenzieren nach der Zeit, dass der Stromkreis durch die Differentialgleichung LI^••+RI^•=0 beschrieben wird (I^•• ist die zweite zeitliche Ableitung der Stromstärke).
Hinweis: Durch alle Bauteile fließt selbstverständlich derselbe Strom; am Widerstand gilt das Ohmsche Gesetz.

c) Zeigen Sie, dass der Ansatz I=I₀*(1-e^-t/τ) die Gleichung löst. Welche Bedingung finden Sie für die Zeitkonstante τ?

Problem/Ansatz:

Kann mir bitte jemand beim Lösen dieser Aufgabe helfen? Bitte möglichst mit Kommentaren zu den Formeln. Ich sitze schon seit einer Weile an dieser  Aufgabe, aber komme leider nicht weiter, leider verstehe ich die ganzen Zusammenhänge nicht wirklich. Das ist die letzte Aufgabe für dieses Jahr. Vielen Dank im Voraus und beste Grüße

Answer 1

Hallo

a) Φ=B*A ,  aber auch  L*I=n* Φ, da ist fehlt bei dir das n .  U_ind=- n*Φ'=-L*I'

b) steht schon fast da: U₀=U_R-U_ind=R*I+L*I' und U₀=const also U₀'=0

daraus die Dgl  für I' : R*I'+L*I''=0 oder I''=-R/L*I' warum nicht gleich die Dgl für I gelöst wird weiss ich nicht die wäre R*I+L*I'=Uo . Aber Chemiker können anscheinend nur homogene lineare Dgl lösen?

aus I''=-R/L*I' folgt I'(t)=C*e-R/L*t, das noch mal integriert ergibt I(t)=-C1*L/R*e-R/L*t+C2 C1,C2 sind durch I(0) und I'(0) festgelegt.

da du durch Einsetzen der vorgegebenen Lösung das nur zeigen musst musst du die Lösung nicht selbst finden, und I=I0*(1-e^-t/τ) 2 mal zu differenzieren kannst du wohl und damit τ=L/R rausfinden.

Gruß lul

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Vielen Dank!