Aufgabe:
Sie haben einen Stromkreis bestehend aus Spannungsquelle (konstante Spannung U0), Widerstand R und Spule (konstante Induktivität L). Alle Bauteile sind in Reihe geschaltet. Sobald Sie die Spannungsquelle einschalten, beginnt sich in der Spule ein Magnetfeld aufzubauen. Das Induktionsgesetz besagt nun, dass ein sich aufbauendes Magnetfeld in einer Spule eine Induktionsspannung erzeugt. Dies führt dazu, dass das von der Spule aufgebaute Magnetfeld in derselben Spule eine Gegenspannung Uind induziert. Diese ist entgegen der Spannungsquelle gerichtet, weshalb im Stromkreis nicht sofort die maximal mögliche Stromstärke I0=U0/R fließt. Stattdessen ändert sich diese, beginnend mit I(t=0s)=0 beim Einschalten bis hin zu I(t→∞)=I0. Der Maximalwert wird erreicht, sobald das Magnetfeld der Spule voll aufgebaut ist und sich nicht mehr ändert.
a) Zeigen Sie unter Ausnutzung der Definition der Induktivität (ΦB=L*I) und des Induktionsgesetzes, dass die Induktionsspannung in Abhängigkeit der Änderung der Stromstärke I•=dI/dt ausgedrückt werden kann durch Uind=-LI•
b) Die Maschenregel für den beschriebenen Stromkreis besagt, dass für t>0 die Gleichung U0=UR-Uind erfüllt sein muss, wobei UR die über den Widerstand gemessen Spannung sein muss. Zeigen Sie durch einmaliges Differenzieren nach der Zeit, dass der Stromkreis durch die Differentialgleichung LI••+RI•=0 beschrieben wird (I•• ist die zweite zeitliche Ableitung der Stromstärke).
Hinweis: Durch alle Bauteile fließt selbstverständlich derselbe Strom; am Widerstand gilt das Ohmsche Gesetz.
c) Zeigen Sie, dass der Ansatz I=I0*(1-e-t/τ) die Gleichung löst. Welche Bedingung finden Sie für die Zeitkonstante τ?
Problem/Ansatz:
Kann mir bitte jemand beim Lösen dieser Aufgabe helfen? Bitte möglichst mit Kommentaren zu den Formeln. Ich sitze schon seit einer Weile an dieser Aufgabe, aber komme leider nicht weiter, leider verstehe ich die ganzen Zusammenhänge nicht wirklich. Das ist die letzte Aufgabe für dieses Jahr. Vielen Dank im Voraus und beste Grüße
