Divergenz Quellstärke eines Vektorfeldes

Question

Aufgabe:

Die Divergenz ∇^→⋅F(r ^→) gibt die Quellstärke eines Vektorfeldes F(r^→) an. Es gilt:

∇^→ (^→)=(d/dx)*F+(d/dy)*F+(d/dz)*F ,
wobei F_x(r^→), F_y(r^→), F_z(r^→) die Komponenten des Vektorfeldes sind. Das Ergebnis ist also ein skalares Feld! Bestimmen Sie die Divergenz der Felder
a) F(r^→)=(xy,xz,x²*z²)
b) F(r^→)=r^→/|r^→|

Problem/Ansatz:

Kann mir bitte jemand erklären, wie ich diese Aufgabe löse, also Lösung mit Kommentaren zu jedem Schritt? Vielen Dank im Voraus und Grüße

Answer 1

Hallo,

a) ist einfach jede Komponente partiell nach ihrer Koordinate ableiten und aufsummieren.

Div F= y+0+2x²*z

b) hier schreibst  du erst um zu

F=(x,y,z)/(sqrt(x²+y²+z²))

und leitet nach der Quotientenregel ab.

Z.B der erste Summand ist

d/dx  (x/sqrt(x²+y²+z²))

=(sqrt(x²+y²+z²) -x²/sqrt(x²+y²+z²))/(x²+y²+z²)

=(r-x²/r)/(r²)=(r²-x²)/r³

Die anderen beiden Ableitungen gehen genauso, nur dass da statt -x² jeweils -y² bzw. -z² steht. Wenn man alles aufsummiert hat man also

Div F=(3r² -x²-y²-z²)/r³

=2r²/r³ =2/r

Comments

Herzlichen Dank!!!

Answer 2

Hallo

was du aufgeschrieben hast ist so falsch, ich bezeichne die 3 Komponenten von F mit F=(F1,F2,F3= es wird F1 nach x, F2 nach y F3 nach z abgeleitet, also bei dir F1=xy , dF1/dx=y F2=xz dF2/dy=0, F3=x²*z²,  dF3/dz=2x²*z

die Summe der 3 ist die Divergenz also divF=y+2x²*z

jetzt bist du mit der zwoten dran F1=x/√(x²+y²+z²) usw das nach x ableiten usw.

Gruß lul

Comments

Vielen Dank für Ihre Antwort, eine Frage nur:

ist F1=x/√(x²+y²+z²) die Lösung zur Teilaufgabe b)? Ich habe da doch den Vektor r/lrl

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 nein, natürlich ist das nicht die Lösung, ich hab dir nur F1 hingeschrieben, , ableiten nach x musst du selbst, ebenso F2 und F3 aufschreiben und nach y bzw z ableiten. Die Frage zeigt irgendwo, dass du auch was ich zuvor gezeigt habe nicht wirklich nachvollzogen hast? aber Gast hat dir das doch schon geschrieben.

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Ja, leider tue ich mich ganz schwer mit diesem Thema, vielen Dank für Ihre Erklärungen!