Ladung auf x-Achse: Elektrisches Potential für Punkte auf y-Achse

Question

Aufgabe:

Die Ladung Q sei gleichmäßig und unendlich dünn auf der x-Achse, von $x_1=-a\space\text{bis}\space x_2=+a$ verteilt. Für beliebige Punkte auf der y-Achse berechne man das elektrische Potential, welches dieser Ladungsverteilung entspricht.

Problem/Ansatz:

$U=\frac{1}{4πε_0}\int \frac{ρ(\vec{r}')}{|\vec{r}-\vec{r}'|}d\vec{r}'^3$

$ρ(\vec{r}')=\frac{Q}{2a}$

$r'=\sqrt{x^2+y^2}$

$U=\frac{Q}{8πε_0a}\int_{-a}^{a} \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}dx$

$U=\frac{Q}{8πε_0a}\cdot (ln|a+\sqrt{a^2+y^2}|-ln|-a+\sqrt{a^2+y^2}|)$

Stimmt das alles bis dahin und wie geht es ab da weiter?

Answer 1

Hallo

es sieht richtig aus, einfacher wird es mit dem arsinh

dann ist das Ergebnis V(y)=2*arsinh(a/|y|)

das kannst du höchstens noch plotten, im übrigen bist du fertig

(U verwendet man meist für Spannung, also Potentialdifferenz, es sei denn das ist bei euch anders)

Gruß lul