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Berechnung der förderlichen Vergrößerung eines Mikroskops
Um die frage nach der sinnvollen Okularvergrößerung \(V_{OK}\) für ein Mikroskop mit einem Objektiv der Vergrößerung \(\beta_{Ob}= 100\) und einer numerischen Apertur \(A= 1,35\) zu beantworten, betrachten wir zunächst das Auflösungsvermögen des Mikroskops und die förderliche Vergrößerung, welche das Sehvermögen des Auges mit dem Auflösungsvermögen des Mikroskops in Einklang bringt.
Die förderliche Vergrößerung eines Mikroskops \(V_{förd}\) wird oft mit dem 500- bis 1000-fachen der numerischen Apertur (\(NA\)) des Objektivs angegeben.
Für die Berechnung der förderlichen Vergrößerung unter Berücksichtigung der gegebenen Parameter (\(A= 1,35\) und \(\lambda= 550\,nm\)) und des Auflösungsvermögens des Auges bei einem Sehwinkel von \(\sigma_A= 6.10^{-4}\,rad\) gehen wir wie folgt vor:
Als erstes erinnern wir uns daran, dass das Auflösungsvermögen \(d\) eines Mikroskops nach der Formel von Abbe gegeben ist durch:
\(
d = \frac{\lambda}{2A}
\)
Bei einem \(\lambda\) von 550 nm und einer numerischen Apertur \(A = 1,35\), ist das kleinste auflösbare Detail \(d\) also:
\(
d = \frac{550\,nm}{2 \cdot 1,35} = \frac{550}{2.7}\,nm \approx 203.7\,nm
\)
Das menschliche Auge kann Details in einer Entfernung von etwa \(250\,mm\) (der Nahpunkt des Auges) mit einem minimalen Sehwinkel \(\sigma_A= 6.10^{-4}\,rad\) wahrnehmen. Das Auflösungsvermögen des Auges \(d_A\) lässt sich mit \(\sigma_A\) wie folgt bestimmen:
\(
d_A = \sigma_A \cdot 250\,mm = 6.10^{-4}\,rad \cdot 250\,mm = 0.15\,mm = 150\,\mu m
\)
Das Verhältnis dieses Werts zum Auflösungsvermögen \(d\) des Mikroskops gibt uns einen Hinweis auf die förderliche Vergrößerung, weil es uns sagt, wie stark wir das kleinste vom Mikroskop auflösbare Detail \(d\) vergrößern müssen, damit es gerade noch vom Auge als zwei getrennte Punkte wahrgenommen werden kann.
\(
V_{förd} = \frac{d_A}{d} = \frac{150\,\mu m}{203.7\,nm} \approx 736
\)
Dies bedeutet, dass eine Gesamtvergrößerung des Mikroskops von etwa 736 als förderlich angesehen wird, um die kleinste Struktur, die das Mikroskop auflösen kann, gerade noch mit dem Auge unterscheiden zu können.
Für das Objektiv mit \(\beta_{Ob}= 100\) muss demnach das Okular eine Vergrößerung \(V_{OK}\) haben, so dass die Gesamtvergrößerung des Mikroskops ungefähr 736 ist. Die Gesamtvergrößerung des Mikroskops \(V_{ges}\) ist das Produkt aus der Vergrößerung des Objektivs und der des Okulars:
\(
V_{ges} = \beta_{Ob} \cdot V_{OK}
\)
Um \(V_{OK}\) zu finden, lösen wir nach \(V_{OK}\) auf:
\(
V_{OK} = \frac{V_{ges}}{\beta_{Ob}} = \frac{736}{100} = 7.36
\)
Somit wäre eine Okularvergrößerung von etwa 7 bis 8 als sinnvoll zu betrachten, wenn man ein Objektiv mit einer Vergrößerung von 100 und einer numerischen Apertur von 1,35 verwendet, um die förderliche Vergrößerung im Einklang mit dem Auflösungsvermögen des menschlichen Auges und dem des Mikroskops zu halten.
