Betrachten Sie die gewöhnlichen Differentialgleichungen

Question

Könntet mir einer bei der Lösung von c. helfen? 


Mein Ansatz ist folgender 

(1) lineare, homogene Differentialgleichung -> die Summe von y1(x) und y2(x) sind Lösung der Gleichung

(2) zwar linear, aber inhomogen -> Die Summe von y1(x) und y2(x) ist nicht Lösung der Gleichung

(3) zwar homogen, aber nicht linear.-> Die Summe von y1(x) und y2(x) ist nicht Lösung der Gleichung


D.h Die Summe von y1(x) und y2(x) ist nur Lösung der Gleichung, wenn gilt: 

Dgl= linear und homogen 


Kann das Stimmen?

Answer 1

Hier mal allgemein:
(1) \(a(x)y''+b(x)y'+c(x)y=0\)
(2) \(a(x)y''+b(x)y'+c(x)y=k \)  \((k\in\mathbb{R}, k\neq0\))
(3) \(a(x)y''+b(x)(y')^2+c(x)y=0\)

(1) \(a(x)\frac{d^2(y_1(x)+y_2(x))}{dx^2}+b(x)\frac{d(y_1(x)+y_2(x))}{dx}+c(x)(y_1(x)+y_2(x))\)
\(=a(x)\frac{d^2y_1(x)}{dx^2}+b(x)\frac{dy_1(x)}{dx}+c(x)y_1(x)+a(x)\frac{d^2y_2(x)}{dx^2}+b(x)\frac{dy_2(x)}{dx}+c(x)y_2(x)\)
\(=0+0=0\) nach Voraussetzung

(2) \(a(x)\frac{d^2(y_1(x)+y_2(x))}{dx^2}+b(x)\frac{d(y_1(x)+y_2(x))}{dx}+c(x)(y_1(x)+y_2(x))\)
\(=a(x)\frac{d^2y_1(x)}{dx^2}+b(x)\frac{dy_1(x)}{dx}+c(x)y_1(x)+a(x)\frac{d^2y_2(x)}{dx^2}+b(x)\frac{dy_2(x)}{dx}+c(x)y_2(x)\)
\(=k+k=2k\neq k\) nach Voraussetzung

(3) \(a(x)\frac{d^2(y_1(x)+y_2(x))}{dx^2}+b(x)(\frac{d(y_1(x)+y_2(x))}{dx})^2+c(x)(y_1(x)+y_2(x))\)
\(=a(x)\frac{d^2y_1(x)}{dx^2}+a(x)\frac{d^2y_2(x)}{dx^2}+b(x)(\frac{dy_1(x)}{dx})^2+b(x)2y_1'(x)y_2'(x)+b(x)(\frac{dy_2(x)}{dx})^2+c(x)y_1(x)+c(x)y_2(x)\)
\(=0+b(x)2y_1'(x)y_2'(x)+0\neq0\) nach Voraussetzung für allgemeine \(b(x),y_1(x),y_2(x)\)

Ob das als Begründung genügt, musst du für dich entscheiden.