Gegenseitige Gravitationskraft: Nach welcher Zeit treffen die Körper aufeinander?

Question

Zwei Körper haben jeweils die Masse 1,5kg und den Radius 3cm. Ihr Mittelpunktsabstand beträgt 10cm und sie befinden sich zunächst in Ruhe. Die Körper sollen sich nur unter dem Einfluss der gegenseitigen Gravitationskraft aufeinander zubewegen.

Nach welcher Zeit treffen sie aufeinander? Welche Geschwindigkeit haben die Körper dann?

Was den Lösungsansatz betrifft, bin ich gerade etwas ratlos. Vielleicht hat jemand eine Idee?

Comments

Hmm, unter der Annahme, dass die Beschleunigung a konstant ist, kann man rechnen:

F = m₁*a

und

F = G*m_(1)*m_(2)/r²

Also Gravitationskraft und Grundgleichung der Mechanik.

Ersteres in letzteres eingesetzt und man kann a errechnen. Dann noch s= 1/2*a*t^2 und schon hat man die benötigte Zeit und kurz darauf die Geschwindigkeit ;).

Hope it helps.

---

Erkennst du die Widersprüchlichkeit deiner Ausführungen nicht ?

---

@unknown
Die Frage mit dieser Problematik beschäftigt mich schon lange.
Es dürfte sich nicht um eine gleichförmig beschleunigte Bewegung
handeln, sondern um eine " ungleichförmig beschleunigte " Bewegung.

Da der Abstand sich verringert ändert sich auch
- die Anziehungskraft  ( F nicht const )
- das Maß der Beschleunigung ( a nicht const ).

Vor ein paar Wochen hatten wir hier dieselbe Frage, die
leider trotz Zusage nicht beantwortet wurde.

Ich werde jetzt einmal nachsehen.

---

Erkennst du die Widersprüchlichkeit deiner Ausführungen nicht ?

Ups, jetzt am frühen Morgen angeschaut...sticht mir das gleich ins Auge ;/. War wohl etwas zu spät :P.

Allerdings sehe ich dann gerade keine sinnvolle Alternative ohne DGL zu arbeiten :/.


Die Frage mit dieser Problematik beschäftigt mich schon lange.
Es dürfte sich nicht um eine gleichförmig beschleunigte Bewegung
handeln, sondern um eine " ungleichförmig beschleunigte " Bewegung

Dessen war ich mir allerdings bewusst. Dachte nur, dass das 1. eine Schulaufgabe sei und 2. die Näherung in Ordnung. Habs bei mir aber oben nicht umgesetzt gehabt :P.

---

Im Internet findet man zu dem Thema kaum etwas.
Ein Anzeichen dafür das es zu kompliziert ist.

Wie gesagt hatte ich auch einmal versucht die Sache zu durchdenken :

Man nehme 2 Massen im Weltraum, die noch fixiert sind.
Die Massen üben eine Anziehungskarft nach Newton aufeinander aus.
Nun werden diese losgelassen.
Es erfolgt eine Bewegung.
Einen Zeittick später könnten die Kräfte wieder neu berechnet werden. Aber :
die neuen Gravitationskräfte sind nicht sofort bei der anderen Masse
sondern breiten sich nur mit Lichtgeschwindigkeit aus.
Das Ganze ergibt also einen absolut verzwickten Bewegungsablauf

---

Dieser Spezialfall ist aber glücklicherweise noch recht einfach: Die Körper bewegen sich nur auf einer geraden; symmetrisch zum Schwerpunkt. Bei einem Abstand von \(10~\rm cm\) kann man auch irgendwelche Ausbreiteungsgeschwindigkeiten vernachlässigen...

Am Ende muss man nur noch eine DGL der Form \(\ddot r=\frac{\rm const}{r^2}\) lösen.

---

Hier ein Link.
https://www.nanolounge.de/10189/gravitation-zwischen-zwei-massenpunkten-analytische-losung

---

Die einfache Variante

F = G*m₁*m₂/r²
m1 = m2 = 1.5 kg
r = 0.1 m
G = 6.67 * 10^{-11} m^3 / ( kg * s^2 )

F = 6.67 * 10^{-11} m^3 / ( kg * s^2 ) * 1.5 kg * 1.5 kg / 0.01 m^2
F = 1500.75 * 10^{-11} m * kg / s^2
F = 1500.75 * 10^{-11}  N

F = m * a
1500.75 * 10^{-11}  N = 1.5 kg * a
a = 1000 * 10^{-11} m / s^2
s = 5 - 3 = 2 cm   ( Überbrückungsweg bis zur Berührung )
s = 0.02 m

s = 1/2 * a * t^2
0.02 * 2 / ( 1000 * 10^{-11} ) = 0.04 * 10^8  sec

66666 min
1111 std
46.3 Tage

Alle Angaben ohne Gewähr.

---

Vielen lieben Dank für all Eure Hilfestellungen, die ich leider erst jetzt durcharbeiten konnte. Richtig weiter komme ich damit allerdings nicht. Klar ist mir bis dato lediglich, dass die beschleunigende Kraft, also die Gravitationsanziehung, nicht konstant ist, sondern sich mit der Entfernung ändert. Daher gibt es keine simple Weg-Zeit-Funktion (weder r = 1/2 at² , noch r = vt). Ich denke, das ist soweit richtig.

Im Internet habe ich folgende Aufgabe gefunden, die der Meinigen zumindest ähnelt: Ein Raumschiff ruht gegenüber der Sonne in 150 Mio. km. Durch die Gravitationsanziehung stürzt das Raumschiff in die Sonne. Wie lange benötigt es dazu ?

Antwort:  Diese Aufgabe kann ausschließlich mit dem Computer gelöst werden, der es uns erlaubt, mit Kenntnis des Gravitationsgesetzes und der Definitionsgleichungen für Geschwindigkeit und Beschleunigung beliebig komplizierte Bewegungen am Himmel zu berechnen.

Möglicherweise ist auch meine gestellte Frage nur über diesen Weg lösbar ?

Answer 1

Um es nicht fürchterlich kompliziert zu machen, nehmen wir an, dass die Masse der Kugeln nicht über das Kugelvolumen gelichmässig verteilt, sondern in ihrem Mittelpunkt konzentriert ist, so dass wir mit einem Massepunkt rechnen können.
$$  F = m_1 \cdot a $$
$$     F = G\, \frac{m_1 \, m_2}{r^2} \  $$
$$    m_1 \cdot a  = G\, \frac{m_1 \, m_2}{r^2} \  $$
$$m_1 = m_2=m$$
$$    a = G\, \frac{m}{r^2} \  $$
die Beschleunigung ist also nicht wie in den bisherigen Lösungsvorschlägen dargestellt konstant, sondern ändert sich mit dem Abstand zwischen den Massepunkten. Die Beschleunigung ist die zweite Ableitung des Weges nach der Zeit.
  $$  a (t)=  \ddot{ s} (t) $$ also:$$   \ddot r = G\, \frac{m}{r^2}  $$
$$   \ddot r \cdot r^2= G\,{m}  $$
Die Lösung der DGL gibt es dann hier: $$$$
http://www.wolframalpha.com/input/?i=x%27%27%28t%29+*+x%28t%29%3Da