Antwort mit KI erzeugt
Lösung zu Aufgabe a)
Um die Höhe \(H\) der Fontäne für \(t \rightarrow \infty\) zu bestimmen, nutzen wir die Erkenntnis, dass die Endgeschwindigkeit der Fontäne, \(v_{t\rightarrow \infty}\), erreicht wird, wenn der Einfluss der Erdbeschleunigung und die Druckdifferenz ins Gleichgewicht kommen. Die Bernoulli-Gleichung für inkompressible Strömung wird angewendet, um die Endgeschwindigkeit zu berechnen.
Gegeben:
- \(L = 10 \,m\), Länge des Zulaufrohrs
- \(\Delta p\), konstante Druckdifferenz
- \(T_{99,9} = 7,6 \,s\), Zeit bis 99% der Endgeschwindigkeit erreicht ist
- Erdbeschleunigung \(g = 10 \,m/s^2\)
Die stationäre Strömungsgeschwindigkeit am Auslass des Zulaufrohrs kann mit der Bernoulli-Gleichung in Bezug auf die Druckdifferenz \(\Delta p = \rho \cdot g \cdot H\) bestimmt werden, wobei \(\rho\) die Dichte der Flüssigkeit ist.
Da hier die Wand- und Rohrreibung vernachlässigt werden sollen, vereinfacht sich unser Problem auf eine Betrachtung der Energieerhaltung und die Druckdifferenz treibt das Wasser hoch.
Für die maximale Höhe \(H\), die das Wasser erreichen kann, wird die kinetische Energie vollständig in potentielle Energie umgewandelt, ohne Verluste:
\(
\frac{1}{2} \cdot v_{t\rightarrow \infty}^2 = g \cdot H
\)
Die Endgeschwindigkeit \(v_{t\rightarrow \infty}\) erreicht ihren maximalen Wert unter der gegebenen Druckdifferenz und den Bedingungen \(t \rightarrow \infty\), aber der genaue Wert wurde uns nicht direkt gegeben. Wir wissen jedoch, dass nach 7,6 Sekunden 99% des stationären Endwertes erreicht sind. Diese Information ist nicht direkt notwendig für die Berechnung von \(H\), sobald wir einen Weg finden, \(v_{t\rightarrow \infty}\) zu bestimmen.
Da jedoch \(H = 5 \,m\) als Lösung gegeben ist, können wir rückwärts arbeiten, um zu verstehen, wie dies errechnet wurde, angenommen, man hätte \(v_{t\rightarrow \infty}\) kennen müssen:
\(
5 \,m = \frac{1}{2 \cdot 10 \,m/s^2} \cdot v_{t\rightarrow \infty}^2
\)
Auflösen für \(v_{t\rightarrow \infty}\) ergibt:
\(
v_{t\rightarrow \infty} = \sqrt{2 \cdot g \cdot H} = \sqrt{2 \cdot 10 \,m/s^2 \cdot 5 \,m} = \sqrt{100} = 10 \,m/s
\)
Daraus folgt als Erkenntnis, dass die Endgeschwindigkeit des Wassers 10 m/s betragen muss, um eine Höhe von 5 m zu erreichen. Es ist jedoch zu beachten, dass in dieser direkten Lösung die Berechnung von \(v_{t\rightarrow \infty}\) oder die Nutzung der Druckdifferenz \(\Delta p\) nicht explizit demonstriert wurde, da diese Informationen in der Fragestellung nicht vollständig spezifiziert wurden und die Lösung von 5 m als gegeben betrachtet wurde.
Lösung zu Aufgabe b)
Gegeben, dass die stationäre Höhe \(H = 5 \,m\) ist, soll jetzt die Zeit \(t_{1/2}\) bestimmt werden, nach der die halbe Höhe erreicht wird.
Die kinetische Energie, die über die potentielle Energie bei der halben Höhe \(H/2\) entspricht, könnte in einem ähnlichen Szenario genutzt werden, um \(t_{1/2}\) zu bestimmen, wenn die Dynamik des Wasserstrahls und die Änderungsrate der Geschwindigkeit oder Beschleunigung bekannt wäre.
Eine genaue mathematische Modellierung der Beschleunigung oder der Zeitabhängigkeit der Geschwindigkeit wäre nötig, um \(t_{1/2}\) zu berechnen. Angesichts der gegebenen Antwort, \(t_{1/2} = 1,763 \,s\), und ohne spezifische Angaben zur Dynamik der Flüssigkeit oder eine Beschreibung, wie die Geschwindigkeit über die Zeit zunimmt, lassen sich die zugrunde liegenden physikalischen oder mathematischen Prinzipien hier nur schwer konkret anwenden.
Das Problem, wie es präsentiert wurde, legt nahe, dass die Bestimmung von \(t_{1/2}\) mit einer impliziten Annahme oder Vereinfachung erfolgt, die möglicherweise im Kontext der Originalfrage oder durch zusätzliche Informationen über die Dynamik der Pumpe und des Wasserflusses spezifiziert wurde, welche uns nicht direkt zur Verfügung stehen.
