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a) Wie groß ist die synchrone Drehzahl nS des Motors (die Drehzahl des Drehfeldes)?
Die synchrone Drehzahl \(n_S\) eines Asynchronmotors, die der Drehzahl des Drehfeldes entspricht, kann mit der Formel
\(
n_S = \frac{60 \cdot f}{p}
\)
berechnet werden, wobei \(f\) die Netzfrequenz in Hz und \(p\) die Polpaarzahl des Motors ist. Die Polpaarzahl \(p\) können wir aus der Beziehung zwischen der tatsächlichen Nenndrehzahl \(n_N\) und der synchronen Drehzahl bestimmen. Die synchrone Drehzahl ist immer etwas höher als die Nenndrehzahl aufgrund des Schlupfs, der für den Betrieb notwendig ist.
Die Standardformel für den Schlupf \(s\) (ausgedrückt als Dezimalzahl) ist
\(
s = \frac{n_S - n_N}{n_S}
\)
aber ohne die Polpaarzahl \(p\) oder den exakten Schlupf können wir die synchrone Drehzahl direkt aus der Frequenz berechnen, wenn wir annehmen, dass der Motor eine Standardpolzahl hat. Für die meisten Anwendungen wird eine der üblichen Polpaarzahlen (z.B., 1, 2, 3, 4) verwendet, wobei eine Polpaarzahl \(p=2\) (was vier Polen entspricht) bei 50Hz eine synchrone Drehzahl von 3000 min⁻¹ und bei \(p=1\) eine synchrone Drehzahl von 1500 min⁻¹ ergibt. Bei einer Nenndrehzahl von 1350 min⁻¹ scheint \(p=1\) (also 1500 min⁻¹ synchrone Drehzahl) die realistischste Annahme zu sein.
Daher ist die synchrone Drehzahl \(n_S = 1500\) min⁻¹.
b) Berechnen Sie das Nenndrehmoment \(M_N\) des Motors.
Das Nenndrehmoment \(M_N\) eines Motors kann mit der Formel
\(
M_N = \frac{P_N}{\omega_N}
\)
berechnet werden, wobei \(P_N\) die Nennleistung ist (in Watt) und \(\omega_N\) die Winkelgeschwindigkeit bei Nenndrehzahl (in rad/s). Die Winkelgeschwindigkeit ergibt sich aus
\(
\omega_N = \frac{2\pi n_N}{60}
\)
Umrechnen der Nenndrehzahl \(n_N\) in rad/s:
\(
\omega_N = \frac{2\pi \cdot 1350}{60} = \frac{2\pi \cdot 1350}{60} \approx 141.37 \text{ rad/s}
\)
Berechnen wir nun das Nenndrehmoment \(M_N\) in Newtonmeter (Nm):
\(
M_N = \frac{10000 \text{ W}}{141.37 \text{ rad/s}} \approx 70.74 \text{ Nm}
\)
c) Berechnen Sie die von dem Motor aufgenommene Wirk (P)-, Blind (Q)- und Scheinleistung (S) sowie den Leiterstrom (I) und Strangstrom (I_St) in der Dreieckschaltung.
Die aufgenommene Wirkleistung \(P\) ist die Nenn-Leistung \(P_N\) geteilt durch den Wirkungsgrad \(\eta\):
\(
P = \frac{P_N}{\eta} = \frac{10000}{0.8} = 12500 \text{ W} = 12.5 \text{ kW}
\)
Die Scheinleistung \(S\) ist definiert als:
\(
S = \frac{P}{\cos \phi} = \frac{12500}{0.83} \approx 15060.24 \text{ VA} = 15.06 \text{ kVA}
\)
Die Blindleistung \(Q\) kann mit der Pythagoräischen Formel berechnet werden:
\(
Q = \sqrt{S^2 - P^2} \approx \sqrt{(15060.24)^2 - (12500)^2} \approx 8957.87 \text{ var} = 8.96 \text{ kvar}
\)
Für den Leiterstrom \(I\) in der Dreieckschaltung:
\(
I = \frac{P}{\sqrt{3} \cdot U} = \frac{12500}{\sqrt{3} \cdot 400} \approx 18.03 \text{ A}
\)
Da es eine Dreieckschaltung ist, ist der Strangstrom \(I_{St}\) gleich dem Leiterstrom \(I\):
\(
I_{St} = I = 18.03 \text{ A}
\)
d) Berechnen Sie die Kapazität \(C\) der für die Dreiecksschaltung benötigten Kondensatoren, wenn Sie die Anlage mit \(\cos \phi = 1\) betreiben wollen.
Um \(\cos \phi = 1\) zu erreichen, muss die Blindleistung durch Kondensatoren kompensiert werden. Die benötigte Blindleistungskompensation ist genau die Blindleistung \(Q\), die wir berechnet haben.
Die Kapazität \(C\) in einer Dreiecksschaltung kann mit der Formel
\(
C = \frac{Q}{\sqrt{3} \cdot 2 \pi f U^2}
\)
erhalten werden:
\(
C = \frac{8957.87}{\sqrt{3} \cdot 2\pi \cdot 50 \cdot (400)^2} \approx 12.7 \mu\text{F}
\)
