Es seien
\(v_{0}\) die Horizontalgeschwindigkeit,
\(g\) die Erdbeschleunigung (ca. 9,81 m/s2),
\(h\) die Turmhöhe,
\(\vec{s}(t)\) der Ort zum Zeitpunkt \(t\) und
\(\vec{v}(t)\) die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt \(t\).
Dann ist
\( \begin{aligned} \vec{s}(t) & =\begin{pmatrix}v_{0}t\\ -\frac{1}{2}gt^{2}+h \end{pmatrix}\\ \vec{v}(t) & =\vec{s}'(t) = \begin{pmatrix} v_{0}\\ -gt \end{pmatrix} \end{aligned} \)
also
\(|\vec{v}(t)| = \sqrt{v_0^2 + (gt)^2}\).
Zum Zeitpunkt \(t_1\) des Aufpralls ist also
(1) \( \sqrt{v_0^2 + (gt_1)^2} = 30\,\frac{\text{m}}{\text{s}} \).
Außerdem ist \(\vec{s}\left(t_1\right) = \begin{pmatrix} 30\,\text{m}\\0\,\text{m} \end{pmatrix} \) und somit
(2) \( \begin{pmatrix}v_{0}t_1\\ -\frac{1}{2}gt_1^{2}+h \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 30\,\text{m}\\0\,\text{m} \end{pmatrix} \)
Löse das Gleichungssystem aus den Gleichungen (1) und (2).
Für den Aufprallwinkel löst du
\(x = v_0t \)
nach \(t\) auf und setzt in
\(y = -\frac{1}{2}gt^2 + h\)
ein. Das ist dann die Wurfparabel. Leite die nach \(x\) ab und setze \(x = 30\,\text{m}\) ein. Das ist dann die Steigung \(m\) der Tangente der Wurfparabel beim Aufprall. Für den Aufprallwinkel \(\alpha\) gilt dann
\(\tan \alpha = m\).
